Forze e statica

importante branca della fisica che ha come assoluti protagonisti le forze e i vettori. I testi degli esercizi ci descrivono un sistema di forze che agiscono su un corpo e ne determinano un’equilibrio di tipo statico. L’approccio migliore è in genere quello di scrivere l’equilibrio alla traslazione lungo i due assi cartesiani di riferimento e poi scrivere le varie forze attraverso le loro componenti. Si va infine a isolare l’incognita e si sostituiscono i valori noti forniti dal testo. E’ caldamente consigliato l’utilizzo del calcolo letterale. Le principali forze che si possono trovare sono la forza peso, la forza di attrito statica (con il suo coefficiente di attrito statico), la forza elastica (legge di Hooke), la forza risultante, quella premente e la reazione vincolare. Altri elementi che spesso compaiono sono la forza equilibrante e la tensione delle funi. Gli esercizi sono solitamente proposti su piani orizzontali o su piani inclinati, dei quali c’è un’ampia dissertazione qua di seguito.

Il piano inclinato è una superficie obliqua in cui la forza peso va sempre scomposta nelle sue due componenti. Per scomporla posso usare il seno e il coseno dell’angolo se mi viene dato, altrimenti posso usare l’altezza e la lunghezza del piano, seguiti dal teorema di Pitagora. La cosa da ricordare essenziale è che la forza peso e le sue due componenti (componente parallela al piano e componente perpendicolare al piano), formano un triangolo rettangolo e quindi sono validi sia il teorema di Pitagora, sia le leggi della trigonometria per i triangoli rettangoli. La componente parallela al piano è quella responsabile del moto e dello scivolamento dei corpi non soggetti a forze esterne. E’ parallela al piano ed è sempre rivolta verso la parte bassa del piano. E’ una componente rilevante man mano che l’angolo alla base aumenta. Si trova moltiplicando la forza peso per il seno dell’angolo alla base. In caso di piano verticale (caduta nel vuoto), coincide con la forza peso. La componente perpendicolare al piano è sempre rivolta verso l’interno del piano inclinato e preme perpendicolarmente contro la superficie del piano. E’ responsabile dell’attrito (sempre se c’è un coefficiente di attrito) e si trova moltiplicando la forza-peso per il coseno dell’angolo alla base. E’ particolarmente rilevante quando gli angoli di apertura del piano sono piccoli. Nel caso di piano orizzontale, coincide ovviamente con la forza peso. Opposta alla forza peso perpendicolare (e avente la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto) c’è la reazione vincolare del piano, che altro non è se non l’applicazione del terzo principio della dinamica. Gli esercizi sul piano inclinato si risolvono tutti nello stesso modo. Si capisce verso qualche verso si muove l’oggetto e si fa un bilancio di forze lungo la direzione del moto. La forza risultante è la sommatoria algebrica di tutte le forze che influiscono sul moto: si prendono positive quelle che hanno verso positivo nei confronti di quello del moto (e tendono quindi ad accelerare il corpo) e negative quelle che hanno il verso opposto rispetto a quello in cui si muove l’oggetto (e tendono quindi a frenare il corpo).
Occorre poi fare una piccola precisazione sulle unità di misura :
tutte le forze presenti si misurano sempre in Newton (N).
accelerazione si indica con “a” e si misura sempre in m/s²
“g” è un accelerazione, quella di gravità terrestre e ha un valore fisso di 9,81 m/s²
“m” è la massa e si misura in kg.
“I” e “h” sono lunghezza e altezza del piano e vanno sempre espresse in metri (m).
l’angolo si indica con “alfa”, e si esprime in gradi°

vediamo adesso alcuni esercizi applicativi sul piano inclinato e sulle forze in genere :
Esercizio 1 : Un corpo è posto su un piano inclinato di un angolo α = 30° rispetto all’orizzontale. Sapendo che il coefficiente di attrito statico fra corpo e piano vale 0.4, stabilire se il corpo è in equilibrio.
A prescindere dal valore della massa, che è una costante numerica positiva e compare in entrambe le espressioni (quindi possiamo portarcela avanti nei calcoli), notiamo come tra le due prevale numericamente il peso parallelo perché è un valore più grande (4,905 > 3,4). Quindi a prescindere dalla massa (che è ininfluente), con questi valori di inclinazione dell’angolo e coefficiente di attrito, il corpo tenderà sempre a scivolare e non siamo in equilibrio statico perché la componente verso il basso (quella rossa nel disegno) prevale sulla componente verso l’alto lungo la direzione del piano (Fa in viola nel disegno).
Esercizio 2 : dato il dispositivo rappresentato in figura, sapendo che la costante elastica della molla vale k = 500N/m, la massa del corpo m = 4,0 kg e l’inclinazione del piano 20°, determinare l’allungamento della molla affinché il sistema risulti in equilibrio statico.
Esercizio 3 : Dato il dispositivo rappresentato in figura, determinare il valore minimo della massa m₂ perché il sistema possa mettersi in moto, sapendo che il coefficiente di attrito statico tra la massa m1= 4,00kg ed il piano orizzontale vale 0,2.
scrivo come prima cosa la formula dell’equilibrio dove impongo che le forze verso uno dei due lati sono uguali alle forze dalla parte opposta. Verso destra tirano il peso del corpo 2 (P2) e la tensione applicata dalla fune sul corpo 1. Verso sinistra tirano la forza di attrito tra piano e corpo 1 e la tensione della fune sul corpo 2. Le due tensioni possono annullarle perché sono uguali e opposte. Dopo aver eseguito i calcoli realizzo che abbiamo tre casistiche possibili:
-se il corpo due ha una massa inferiore di 0,8kg c’è equilibrio statico e il sistema è fermo.
-se il corpo due ha massa di esattamente 0,8kg la situazione è ancora di equilibrio ma siamo al limite dell’equilibrio statico.
-se il corpo due ha massa superiore a 0,8kg allora l’equilibrio è dinamico e il corpo due scende verso il basso trascinando con se anche il corpo 1.
Esercizio 4 : un corpo di massa m₁ = 6,0 Kg è appoggiato su un tavolo orizzontale liscio e legato ad una parete per mezzo di una molla di costante elastica K = 70 N/m. Tale corpo è inoltre legato ad un secondo corpo appeso per mezzo di una fune che passa sopra una carrucola ideale. (Vedi figura). sistema dei due corpi è in equilibrio. Sapendo che la molla subisce un allungamento di 15 cm, determina il peso del secondo corpo, la tensione della fune e la reazione vincolare del piano. L’equilibrio del sistema di corpi è dato sempre dalle forze che tirano da una parte e da quelle che tirano dalla parte opposta. Verso destra tirano la tensione orizzontale verde e il peso del corpo 2, mentre a sinistra tirano la tensione verde verticale e la forza elastica della molla. Per calcolare la forza peso 1 e la sua reazione vincolare non centra nulla l’equilibrio e se non c’è attrito come in questo caso è totalmente ininfluente per l’equilibrio la massa del corpo 1. Se siamo in equilibrio, e qua lo siamo, per la tensione della fune possiamo “staccare” una parte del sistema e analizzare solo quella, ad esempio si può fare per la parte destra. Visto che il sistema è in equilibrio e non ci sono accelerazioni in gioco, la forza risultante complessiva sul corpo 2 è nulla e questo ci dice che le forze che tirano verso il basso sono uguali a quelle che tirano verso l’alto.

esercizio : l’oggetto in figura ha massa 25kg ed è poggiato su un piano orizzontale sul quale c’è un coefficiente di attrito che non conosciamo. Una forza esterna F di 164N è applicata come in figura e forma un angolo di 52° sopra l’orizzontale. Il sistema è in equilibrio statico. Bisogna determinare quanto vale la forza di attrito e quanto vale il coefficiente di attrito statico. Per risolverlo considero che visto che siamo in equilibrio, la sommatoria delle forze orizzontali in un verso deve essere uguale alla sommatoria delle forze orizzontali nell’altro verso. Scomponiamo poi F nelle sue componenti, pertanto F_x sarà data dal prodotto di F per il coseno dell’angolo perché l’angolo è quello compreso tra il vettore e la componente cercata. Per il coefficiente di attrito, ricordiamo la definizione di forza di attrito, cioè la moltiplicazione tra la forza che preme sul piano e il coefficiente di attrito. In questo caso sul piano premono due forze, cioè la forza peso e anche la componente verticale della forza esterna, cioè Fy. Quindi la forza premente sarà data dalla somma tra queste due forze perché entrambe premono verso il basso, cioè contro il piano orizzontale. Scrivo quindi la relazione e faccio la formula inversa, isolando il coefficiente di attrito.
Nel successivo esercizio della slide, un oggetto di 13kg si trova su un piano inclinato di un angolo che non sappiamo. Si sa che la forza equilibrante necessaria per tenere fermo in equilibrio statico l’oggetto, è di 73N. Si sa anche che la lunghezza del piano è di 4,5metri. Vogliamo calcolare :
a) l’angolo di inclinazione del piano
b) la reazione vincolare che il piano fa sull’oggetto
c) l’altezza del piano
per risolverlo, prima possiamo trovare la forza peso e scriverla nelle sue componenti (ovviamente l’angolo alfa è incognito e quindi non possiamo calcolare le componenti numericamente. Scrivo poi l’equilibrio lungo il piano inclinato, in cui la componente parallela della forza peso è uguale e opposta alla forza equilibrante. Per la risoluzione di questo esercizio, faccio prima l’equilibrio lungo il piano, uguagliando la forza equilibrante con la componente parallela della forza peso e risolviamo con la formula inversa rispetto all’angolo alla base del piano. Per il punto b) la reazione vincolare, in assenza di altre forze esterne perpendicolari al piano, è uguale e opposta alla componente della forza peso perpendicolare al piano. Quindi calcolo quella e ho trovato anche la reazione vincolare.
c) in alcuni casi per calcolare le componenti del piano inclinato ci viene dato l’angolo di inclinazione del piano. In altri casi ci vengono dati altezza e lunghezza del piano. Sappiamo dalle formule la correlazione tra altezza del piano, lunghezza del piano e inclinazione e quindi uso la formula inversa e isolo l’altezza del piano che è la mia incognita.

nel primo esercizio della prossima slide c’è un sistema con una fune e una carrucola in cui una massa più piccola di 18kg è verticalmente appesa ad un estremo della fune. Dall’altra parte c’è una massa più grande, di 39kg, poggiata su un piano orizzontale scabro. Inoltre c’è una forza esterna di 100N che agisce come in figura sulla massa più grande ed è inclinata di un angolo di 28 gradi rispetto alla verticale al piano. Vogliamo sapere il minimo coefficiente di attrito necessario a tenere fermo il sistema in equilibrio statico e la reazione vincolare fatta del piano sulla massa appoggiata.
Per prima cosa scriviamo la scomposizione della forza esterna F perché le sue due componenti mi serviranno sia per l’equilibrio orizzontale, sia per quello verticale (quindi per calcolare anche la forza premente che determina poi l’attrito). In una condizione di equilibrio orizzontale, la forza peso P₁ è l’unica che tende a far muovere il sistema verso destra, mentre la forza attrito F_a e la forza orizzontale Fx tendono a far rimanere il sistema verso sinistra. Scrivo questo equilibrio, e ciascuna forza la scrivo scomposta poi con le proprie componenti. In questo caso la forza premente è data dalla somma tra la forza peso 2, P₂ e la componente verticale Fy della forza esterna. Tramite formula inversa devo isolare dal calcolo il valore del coefficiente di attrito. Per la reazione vincolare tra piano e oggetto è uguale alla forza premente su quel piano, quindi alla somma tra forza peso della cassa appoggiata e componente verticale della forza esterna.

Nel successivo esercizio, c’è piano inclinato con una molla e la presenza della forza di attrito. Il testo dice che una massa di 25kg è in equilibrio su un piano inclinato di 34° ed è presente un coefficiente di attrito statico pari a 0,15. Se la molla si è allungata di 6cm rispetto alla sua lunghezza iniziale, quanto vale la costante elastica della molla?
Scriviamo prima l’equilibrio lungo il piano inclinato, ponendo le forze che tirano da un lato uguali a quelle che tirano dall’altro lato. Verso sinistra agiscono la forza elastica dovuta alla trazione della molla e la forza di attrito che si oppone allo scivolamento. Verso destra agisce la componente parallela della forza peso. Uguaglio le forze, le scrivo nelle loro componenti e poi isolo la costante K da da trovare tramite una formula inversa.

nella prossima slide c’è sempre un esercizio di statica: piano inclinato con una forza esterna e l’attrito. Vediamolo : Un oggetto di 15 kg si trova fermo in posizione di equilibrio su un piano inclinato di 31° rispetto all’orizzontale. Su di esso agisce una forza orizzontale esterna di 150N. (in verde nel disegno). La forza di attrito statica è rivolta nello stesso verso e direzione della componente parallela della forza peso, altrimenti l’oggetto tenderebbe a risalire lungo il piano. Quanto vale il coefficiente di attrito statico tra piano e oggetto per essere in equilibrio?
Come sempre scriviamo l’equilibrio lungo il piano inclinato e poi scriviamo tutte le forze nelle loro componenti. La forza che preme sul piano e che è responsabile dell’attrito, ed è data dalla somma tra la componente della forza peso perpendicolare al piano e la componente della forza esterna, sempre perpendicolare al piano. Sostituisco poi tutto in componenti e scrivo la formula inversa per isolare nel calcolo il valore del coefficiente di attrito. L’uso del calcolo letterale ha diversi vantaggi : non facciamo errori di approssimazioni sulla misura perché digitiamo solo una volta sulla calcolatrice e quindi il risultato finale ottenuto è la miglior stima possibile. In secondo luogo usando il letterale è possibile fare in alcuni casi alcune importanti semplificazioni che permettono di proseguire con l’esercizio anche se il testo non fornisce tutti i dati (ovviamente quelli non dati devono essere dati non non necessari e quindi ininfluenti sul risultato finale).

Nella seconda parte della slide c’è un esercizio di statica sul piano orizzontale con attrito e una forza esterna.
La massima forza di attrito statico che può esserci tra il piano e la massa è di 80N. La massa dell’oggetto è di 27kg. C’e’ una forza esterna di valore incognito che è inclinata di un angolo di 40° rispetto alla direzione normale al piano. Quanto vale la minima forza esterna F da applicare obliquamente rispetto alla massa per riuscire a vincere la massima forza di attrito? quanto vale il massimo coefficiente di attrito statico?
risoluzione : se siamo in equilibrio al movimento (orizzontale, cioè lungo la direzione del possibile moto), significa che le due forze orizzontali sono uguali in modulo e opposte in verso. Quindi pongo uguale la forza di attrito e la componente orizzontale della forza esterna.
Alla luce dei risultati deduciamo che se applichiamo quindi una forza F superiore a 124,5N, l’oggetto inizia a muoversi e la situazione si trasforma da statica a dinamica. Se invece la forza esterna è inferiore a 124,5N, l’oggetto rimane fermo ed è sufficiente la forza di attrito a mantenere una situazione statica. Per calcolare il coefficiente di attrito, bisogna capire quanto vale la forza premente sul piano. In questa configurazione di forze, la forza peso preme contro il piano, mentre la Fy alleggerisce la pressione della massa sul piano, quindi andrà sottratta dal calcolo della forza premente. Scrivo la formula della forza di attrito e faccio la formula inversa per isolare il valore del coefficiente di attrito.

Nell’esercizio 20 abbiamo un disco di 800 g, agganciato a una molla e appoggiato su un piano inclinato, è in equilibrio così come riportato in figura. L’altezza del piano inclinato è di 20 cm, mentre la sua lunghezza è di 60 cm. La molla ha una costante elastica pari a 35 N/m e risulta allungata di 4 cm rispetto alla lunghezza a riposo. Individua il modulo della forza equilibrante minima parallela al piano inclinato, sapendo che il coefficiente d’attrito statico tra la superficie del piano e il disco vale 0,121.
Risoluzione : prima faccio il disegno e metto in rosso le classiche formule del piano inclinato, con le scomposizione della forza peso nelle sue due componenti. In verde metto la forza elastica. Visto che il testo dice che la molla è stata allungata, la forza elastica è rivolta così come nel grafico perché tende sempre a riportare la molla nelle sue condizioni di lunghezza iniziale. Non ci è fornito l’angolo alla base del piano, però sapendo altezza e lunghezza del piano possiamo comunque calcolare tutto. Calcolo prima le singole parti e poi metto tutto nella formula dell’attrito per trovare la forza equilibrante. Calcoliamo successivamente la forza elastica, e lo facciamo applicando la legge di Hooke. Per calcolare invece la forza di attrito, bisogna calcolare la forza che preme sul piano (che va poi moltiplicata per il coefficiente di attrito statico). La forza che preme in questo caso è data da P₁ meno F_e (perché P₁ preme contro il piano mentre Fe “alleggerisce” la forza di pressione contro il piano). Se moltiplico la forza premente per il coefficiente di attrito trovo la forza di attrito. Adesso che abbiamo infine tutte le varie grandezze necessarie, possiamo inserire tutto nella formula dell’equilibrio statico lungo il piano. Bisogna porre l’equazione in modo che le forze che “tirano” in due direzione siano uguali a quelle che tirano nella direzione opposta (lungo la direzione del piano). In questo caso P// (che tende verso destra) dovrà essere uguale alla somma tra forza di attrito e forza equilibrante (che tendono a tirare verso sinistra).
Nel successivo esercizio della stessa slide, abbiamo una molla, disposta in orizzontale, ha un estremo fissato al muro e l’altra estremità legata a un mattone che pesa 27 N. La costante elastica della molla è k = 180 N/m e il coefficiente di attrito statico tra il mattone e il pavimento vale 0,90. Con la mano afferri il mattone e lo fai strisciare sul pavimento fino ad allungare la molla di 20 cm. ► Qual è il modulo della forza elastica e della forza al stacco tra mattone e pavimento? ► Se lasci andare il mattone, questo si mette in moto?
Risoluzione : la forza elastica è data dalle legge di Hooke. La forza di distacco è la minima forza da applicare al mattone se si vuole vincere la massima forza di attrito statico (e quindi trasformare la situazione da statica a dinamica). Quindi prima calcoliamo la forza premente sul piano (in questo caso è la forza peso a premere perpendicolarmente al piano), poi passiamo alla forza di attrito moltiplicando la forza premente per il coefficiente di attrito e infine uguagliamo la forza di distacco con la forza di attrito.
b) per determinare se il mattone si mette in moto o meno, è sufficiente confrontare la forza di distacco con la forza elastica. Poichè quest’ultima è maggiore della forza di distacco (36N > 24,3N), quindi è sufficiente a far muovere il mattone e riportarlo verso sinistra di un certo spazio. Il processo di movimento si ferma quando la molla è più corta, quindi è diminuita la forza elastica ed è numericamente uguale alla massima forza di attrito. In quel caso siamo in equilibrio statico e il mattone rimane fermo (con la molla un po’ più corta di ora).

esercizio 5 : un corpo di massa m = 4,7 Kg è in equilibrio su un piano liscio inclinato di 60°, comprimendo una molla di costante elastica k = 75 N/m (come in figura). Determina di quanto si comprime la molla.
Risoluzione : la parola “liscio” nel testo mi dice come non sia scabro e quindi non ci sia alcun attrito tra blocco e piano. Questo mi dice di non disegnare alcuna forza di attrito e quindi non disegno neanche le forza peso perpendicolare. Tralascio anche la forza peso (ho già usato la sua scomposizione) e la reazione vincolare per non incasinare troppo il diagramma di corpo libero con forze superflue alla risoluzione di questo esercizio.

esercizio 6 : Un blocco è appoggiato su un piano orizzontale e collegato tramite una fune e una carrucola a un corpo appeso alla fune stessa. Sapendo che il blocco ha una massa di 10 kg e che il coefficiente di attrito statico sul piano è di 0,2, determina la massa minima del corpo appeso in grado di mettere in movimento il sistema. Dopo aver effettuato alcuni semplici calcoli dati dall’equilibrio statico, notiamo come il sistema è in movimento se la massa appesa è superiore ai 2kg.

esercizio 7 : Di quanto si allunga una molla di costante elastica k=250 N/m, se un corpo di massa m=5 kg è in equilibrio su un piano inclinato alto 1 m e lungo 1,5 m?
risoluzione : in questo caso possiamo o utilizzare direttamente h e I nelle formule per trovare il peso parallelo, altrimenti convertire i dati del piano dell’altezza e della lunghezza in dati dell’angolo alla base del piano e poi proseguire con quelle formule del piano inclinato. Dopo aver impostato l’equazione dell’equilibrio isoliamo nel calcolo la lunghezza della molla e risolviamo l’esercizio con la formula inversa.

gli esercizi di quest’ultima slide sono intesi come ripasso e sono davvero molto semplici. Ne daremo solo il testo e qualche rapido commento ad alcune circostanze perché gli esercizi sono così immediati e basilari che non necessitano di spiegazione o approfondimenti.

esercizio : una scatola di massa 9 kg è appoggiata su un piano orizzontale avente un coefficiente di attrito dinamico pari a 0,32. Quanto vale la minima forza orizzontale che si deve applicare alla scatola per riuscire a metterla in movimento?
Calcolo la forza di attrito e noto che quindi la forza di distacco, cioè la forza minima per riuscire a muovere l’oggetto è di 28,25N. Per forze maggiori di questa, l’oggetto si muove, per forze minori o uguali, rimane invece fermo.

altro esercizio : un oggetto di 12 kg è appoggiato su un piano inclinato alto 4 metri e lungo 9,5 metri. Il coefficiente di attrito tra piano e oggetto è 0,24 l’oggetto si muove? quanto vale la sua forza di attrito? Risoluzione : eseguo alcuni semplici calcoli derivanti dall’equilibrio statico e noto che l’oggetto si muove lungo il piano perché la sua forza peso parallela (responsabile del movimento) è maggiore della forza di attrito (responsabile del rallentamento), dunque si muove.

altro esercizio : un lampadario di 4,3kg è sostenuto al soffitto da una molla lunga (a riposo) 12cm e con costante elastica k=950N/m. Quanto è lunga la molla dopo che è stato appeso il lampadario?

altro esercizio : se applico ad una molla di costante elastica sconosciuta una forza di 58N, riesco ad allungarla di 2,3cm. Se io la allungo invece fino a 3,1cm, che forza ho applicato? teniamo presente che la costante elastica della molla “K” non varia perché ogni molla ha sempre la stessa costante elastica che dipende solo dal tipo di molla!

altro esercizio : su un piano orizzontale devo fare almeno 86N di forza su un oggetto per riuscire a metterlo in movimento. Il coefficiente di attrito statico tra piano e oggetto è 0.35, quello di attrito dinamico è 0.22. quanto vale la massa dell’oggetto che sto cercando di muovere?

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