Moto parabolico (moto del proiettile)

il moto parabolico, anche noto come moto del proiettile, è una tipologia di moto cinematico piano (quindi un moto in due dimensioni ed è una combinazione di due moti. Orizzontalmente, cioè lungo l’asse x, avviene un moto rettilineo uniforme, quindi la velocità orizzontale è sempre costante nel tempo e, se non ci fosse la componente verticale dell’accelerazione, sarebbe infinito. Verticalmente invece avviene un moto rettilineo uniformemente accelerato, con l’accelerazione di gravità sempre rivolta verso il basso. Come prima cosa bisogna capire se il lancio avviene obliquamente o orizzontalmente e lo decido in base al fatto che venga lanciato con velocità iniziale obliqua o orizzontale. Nel primo caso bisogna scomporre la velocità iniziale obliqua nelle sue due componenti. Quella orizzontale (abbiamo detto che rimane costante) e quella verticale (cambia in ogni istante ed è cambiata dall’accelerazione di gravità). Se il lancio è invece orizzontale, l’unica componente iniziale della velocità è quella orizzontale perchè quella iniziale verticale è nulla inizialmente. A livello di formule, mettiamo sempre a sistema i due tipi di moti, apportiamo le opportune sostituzioni e semplificazioni e otteniamo le incognite. E’ fondamentale fissare un opportuno sistema di riferimento in modo da semplificare al massimo il problema.
Ricordo che sono essenziali le conoscenze dei moti rettilineo uniforme e rettilineo uniformemente accelerato perchè si fa un grande uso delle loro formule e delle sostituzioni. Vediamo negli schemi successivi le principali casistiche che possono succedere e le opportune formule da usare prese dai relativi sistemi.

LANCIO OBLIQUO PARTENDO DA TERRA : in questo caso abbiamo entrambe le componenti iniziali della velocità. Ricordo che quella lungo x rimane sempre costante, mentre quella lungo y inizialmente c’è, è positiva e rivolta verso l’alto, poi diminuisce sempre di più mentre l’oggetto sta salendo di quota (perchè viene “rallentata” dall’effetto dell’accelerazione gravitazionale “g” che è verticale, ma con verso contrario). La velocità verticale è nulla nel punto più alto (dove il corpo sta invertendo il proprio verso e la velocità totale in quel punto corrispondente con la velocità orizzontale) e poi cresce progressivamente man mano che l’oggetto prosegue verso il basso, sempre sotto l’effetto della gravità terrestre.

LANCIO IN ORIZZONTALE PARTENDO DA UNA CERTA QUOTA : l’unica velocità presente inizialmente è quella orizzontale perchè non c’è alcuna componente iniziale della velocità verticale. La quota finale dell’oggetto è zero perchè alla fine del moto toccherà terra, mentre la distanza orizzontale finale è chiamata “gittata”. Bisogna ricordarsi di prendere sempre NEGATIVA l’accelerazione di gravità “g” perchè noi impostiamo il sistema di riferimento con l’asse y rivolto verso l’alto e quindi “g” è negativa perchè è sempre rivolta verso il basso, cioè verso il centro della Terra.

LANCIO OBLIQUO PARTENDO DA UNA CERTA QUOTA : l’oggetto parte da un’altezza h₀, compie una traiettoria parabolica e infine tocca il suolo. Si scompone la velocità nelle sue due componenti. Quella orizzontale rimane sempre costante perchè lungo x avviene un moto rettilineo uniforme, mentre lungo y la velocità si modifica istante dopo istante perchè è un moto rettilineo uniformemente accelerato. Quando l’oggetto raggiunge il punto più alto, in corrispondenza dell’altezza massima, la velocità verticale è nulla perchè si sta invertendo il moto. Le altre considerazioni sono del tutto analoghe ai casi precedenti.

cominciamo a vedere qualche esempio partendo dall’esercizio 51 in cui nn idrante espelle un getto d’acqua in una direzione che forma un angolo di 60° con il terreno. L’acqua esce alla velocità di 22 m/s. In queste condizioni, la velocità verticale è 19 m/s, mentre quella orizzontale è 11 m/s. Supponi che l’acqua si muova come un proiettile e trascura l’attrito dell’aria.
Qual è l’altezza massima del getto?
A che distanza arriva il getto?

il moto del proiettile, o moto parabolico è un moto piano contraddistinto dalla combinazione di due diversi moti. Lungo x avviene un moto rettilineo uniforme, lungo y un moto rettilineo uniformemente accelerato. Di norma si può scrivere un sistema quello scritto sotto e poi applicare eventuali semplificazioni date dalla posizione del sistema di riferimento scelto. Ad esempio, messo come nel grafico qua sotto, non ci saranno componenti iniziali di spazio nè lungo x nè lungo y perchè l’oggetto parte nell’origine del sistema di riferimento, quindi le rispettive posizioni iniziali sugli assi cartesiani sono nulle. Nel caso in cui abbiamo lancio obliquo con partenza da terra, possiamo semplificare le formula di gittata ed altezza massima e utilizzare le formule semplificate (in verde sulla slide). Si sostituiscono i dati e si ottengono i risultati.

Un altro esempio è il successivo esercizio 52 : “un cannone ha un angolo di inclinazione di 45°. Esso spara un proiettile con una velocità di 300 m/s. Calcola la quota che raggiunge il proiettile. Quanto tempo resta in aria? Determina la gittata. [2,3 km; 43 s; 9,2 km].
Analogamente a quanto fatto per il caso precedente, possiamo applicare le stesse formule e gli stessi ragionamenti. Facciamo qua la variante in cui, anziché fare direttamente le formule, passiamo attraverso il sistema e la sua risoluzione. Partiamo nell’origine, quindi non ci sono componenti iniziale e l’angolo di 45 gradi fa sì che seno e coseno abbiano lo stesso valore e quindi la velocità ha le stesse componenti iniziali. Ricordo poi che lungo x avviene un moto rettilineo uniforme e quindi la velocità orizzontale lungo x rimarrà sempre costante per tutto il moto. Verticalmente avviene invece un moto rettilineo uniformemente accelerato, quindi la velocità avrà una diminuzione progressiva man mano che l’oggetto sale di quota, sarà nulla nel punto di altezza massima (e infatti in quel punto la velocità dell’oggetto corrisponde con quella orizzontale) e infine sarà negativa (cioè verso il basso) per tutta la fase di discesa dell’oggetto. Dopo opportuni calcoli e sostituzioni noto che l’oggetto quindi rimane in aria per un totale di 43,24 secondi e compie uno spostamento orizzontale (gittata) di 9,17km prima di toccare terra. Il lancio con un angolo di 45° è il migliore angolo possibile per ottenere la massima gittata. Per calcolare la massima altezza ci sono molti modi. Uno di questi è considerare che verticalmente è un moto rettilineo uniformemente accelerato e quindi applicare la formula della legge oraria per quel tipo di moto, risolvendo poi rispetto allo spazio. Ricordiamo che il tempo richiesto per raggiungere la massima altezza è la metà del tempo totale di volo, ma questo vale solo nel caso di partenza e arrivo alla stessa quota. il valore di “g” va sempre preso negativo perché il sistema di riferimento scelto in questo esercizio è asse y positivo verso l’alto. L’accelerazione di gravità “g” è sempre rivolta verso il centro della Terra, quindi nel verso negativo dell’asse y e per questa ragione lo prendiamo sempre con il segno negativo.

esercizio 20. Lancio da record : la giocatrice di baseball Babe Didrikson detiene il record mondiale per il lancio più lungo (90 metri) effettuato da una donna. Per rispondere alle domande seguenti assumi che la palla sia lanciata con un angolo di 45,0° sopra l’orizzontale, che percorra una distanza orizzontale di 90 me che sia ricevuta allo stesso livello dal quale è stata lanciata.
a) Qual è il modulo della velocità iniziale della palla?
b) Per quanto tempo la palla resta in aria?

imposto un sistema con il punto di partenza del lancio corrispondente all’origine del sistema di riferimento e riferisco tutti i dati del problema al sistema di riferimento impostato. Sostituisco i dati che conosco e risolvo rispetto alle incognite.

Nell’esercizio 24 invece : un astronauta sul pianeta Zircon lancia un sasso orizzontalmente con una velocità di modulo 6,95 m/s. Il sasso, lanciato da un’altezza di 1,40 m dal suolo, atterra a una distanza orizzontale di 8,75 m dall’astronauta. Qual è il valore dell’accelerazione di gravità su Zircon?
sistema risolutivo per questa casistica: i due valori che vanno a zero lo fanno perchè S_y è la quota finale a cui si trova il corpo (cioè zero perché è a terra), l’altro di fianco vale 0 perchè non c’è componente iniziale verticale della velocità visto che si tratta di un lancio orizzontale. Dalla prima equazione troviamo il tempo (tempo di volo totale) e lo mettiamo nella seconda equazione, andando poi ad isolare il valore dell’accelerazione di gravità di quel pianeta. Mi aspetto di trovare un valore negativo per quell’accelerazione di gravità perchè ho posizionato l’asse y con verso positivo verso l’alto, mentre l’accelerazione essendo verso il centro del pianeta è sempre verso il basso, quindi uscirà negativa.

Nell’esercizio 26 Il grande fiume Zambesi forma le imponenti cascate Victoria nell’ Africa centro-meridionale, alte approssimativamente 108 m. Se, appena prima di precipitare nella cascata, il fiume scorre orizzontalmente con una velocità di 3,60 m/s, qual è il modulo della velocità dell’acqua quando colpisce il fondo? Assumi che l’acqua sia in caduta libera. [46,2 m/s].
Verticalmente è come se fosse una caduta libera perché l’acqua, lungo l’asse y, parte da ferma e accelera con accelerazione costante g. Uso quindi le formule della caduta libera per calcolare quanto vale la velocità finale verticale del corpo. La velocità orizzontale e quella verticale sono tra di esse ovviamente perpendicolari perché formano i cateti di un triangolo rettangolo. Il testo ci chiede la velocità complessiva, cioè l’ipotenusa di quel triangolo rettangolo e quindi la trovo facendo il teorema di Pitagora assumendo come cateti le due velocità lungo le due direzioni.

nel seguente esercizio abbiamo che un oggetto viene lanciato in orizzontale partendo da una quota ignota. La sua velocità iniziale vale 26km/h. Dopo un tempo di 3,2 secondi tocca terra. Quanto spazio orizzontale ha percorso prima di toccare terra (gittata)?. Con che velocità impatta il terreno? Da che altezza è partito?
scrivo prima il classico sistema con i due moti nelle due direzioni e pongo ho= altezza iniziale da cui parte il corpo. Mando a zero lo spazio finale verticale perché al termine della caduta si trova a terra, cioè a quota 0 e metto uguale a zero la velocità verticale iniziale perché inizialmente non c’è componente verticale della velocità essendo un lancio in orizzontale.
Riscrivo il sistema con le modifiche apportate e noto che dalla prima equazione posso calcolare lo spazio percorso, mentre dalla seconda posso calcolare l’altezza iniziale tramite le rispettive formule inverse. Se ci facciamo caso sono proprio le formule che usiamo nella caduta libera perché le condizioni verticali sono del tutto analoghe alla caduta libera.
A livello di velocità, quella orizzontale è sempre costante lungo tutto il moto. Quella verticale è nulla all’inizio e via via sempre più grande mano mano che il corpo scende, per effetto dell’accelerazione di gravità. Calcolo quella finale verticale di impatto con il terreno usando opportuna formula della caduta libera. Essendo poi due vettori velocità tra loro perpendicolari perché paralleli agli assi cartesiani), allora posso sommarli con il Teorema di Pitagora per trovare la velocità obliqua di impatto.
Nella parte centrale della slide c’è un esercizio sul moto circolare uniforme, mentre nell’ultimo esercizio della slide abbiamo di nuovo un moto del proiettile : dopo una gittata di 48 metri, un corpo tocca terra con una velocità totale di 110km/h. Sapendo che era stato lanciato orizzontalmente con v=45km/h da che altezza è partito e quanto tempo è rimasto in volo?

nel primo esercizio una freccetta è lanciata orizzontalmente verso il centro X a 20 m/s, come nella figura; colpisce il punto Y 0,10 s più tardi. La distanza XY quanto vale?
tutta la dinamica che ci interessa avviene lungo l’asse y perchè la velocità iniziale è orizzontale, dunque ininfluente in questo caso. Sappiamo che la perdita di quota è uguale al semiprodotto tra la gravità e il quadrato del tempo di volo. E’ la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.

Nel secondo esercizio Marco stacca da terra a 11Km/h con un angolo di 38°.
a) Quanto sarà lungo il suo salto?
b)quale sarà la massima altezza raggiunta rispetto al suolo?

Nel quarto e ultimo esercizio un pallone viene lanciato con una velocità di 8,7 m/s e con un’inclinazione di 60° rispetto al suolo. Determina la massima altezza che il pallone può raggiungere.

vuoi consultare e scaricare molti altri esercizi riguardo questo argomento? visita il nostro shop!