Studi di funzione

lo studio di una funzione è uno degli esercizi più completi in assoluto per quel che riguarda l’argomento “funzioni” perchè riassume un po’ tutte le principali operazioni da svolgere per andare a rappresentare correttamente una funzione sul piano cartesiano. In altri capitoli abbiamo visto che determinate funzioni si possono studiare e quindi poi disegnare in modi particolari (ad esempio la retta e la parabola). Ma come fare nel caso in cui si abbia una funzione più particolare?
per fare lo studio di funzione, bisogna seguire queste sette operazioni e conviene seguirle proprio in questo ordine :
– dominio
– simmetrie
– intersezioni con gli assi
– studio del segno
– calcolo dei limiti
– derivata prima
– derivata seconda

man mano che si trovano le varie informazioni si vanno ordinatamente a mettere sul grafico per completarlo passo dopo passo. Così facendo si inizia ad intuire come potrebbe essere il grafico della funzione e soprattutto se ci sono eventuali errori nei punti precedenti, possiamo accorgercene mano mano che proseguiamo e correggere ciò che non va. Vediamo più nel dettaglio punto per punto :
il dominio significa andare a determinare i punti o le zone del piano cartesiano in cui la funzione esiste e quelle in cui non esiste. Per sapere come fare il dominio rimando lo studente alla sezione del sito che tratta appunto il calcolo del dominio. Una volta trovato, lo rappresentiamo subito sul piano cartesiano, tratteggiando i punti in cui non esiste e cancellando le aree in cui non esiste la funzione. Successivamente si passa al secondo punto e si fanno le simmetrie per vedere se la funzioni è pari (e quindi ribaltabile rispetto all’asse y) oppure se è dispari (e quindi ribaltabile rispetto all’origine). Il vantaggio è che, in caso di eventuali simmetrie, si può studiare solo metà funzione e la possiamo poi rappresentare tutta solo facendo solo un semplice ribaltamento. Per avere una funzione simmetrica bisogna avere un dominio simmetrico. E’ una condizione necessaria, ma non sufficiente. Però è inutile cercare le simmetrie in una funzione che non ha dominio simmetrico e il secondo punto si può quindi evitare se nel primo punto trovo un dominio non simmetrico. Come spiegato nell’apposita sezione del sito, per fare la simmetria è sufficiente andare nel testo della funzione e sostituire “-x” al posto di tutte le x presenti, confrontando poi il risultato ottenuto con il testo iniziale (vedi relativo schema nell’apposita sezione del sito).
il terzo punto sono le intersezioni con gli assi, cioè i punti in cui il grafico della funzione tocca gli assi cartesiani. Le intersezioni con l’asse y possono essere da un minimo di nessuna (questo accade quando l’asse y non appartiene al dominio della funzione), ad un massimo di una sola (per definizione di funzione, al valore x=0 può essere associato un solo valore di y). Le intersezioni con l’asse x possono essere da un minimo di nessuna ad un massimo di infinite (come ad esempio nei casi delle funzioni periodiche , quali seno, coseno e tangente). Per trovare le intersezioni si fanno due sistemi e si mettono a sistema separatamente l’equazione della funzione con l’asse y (che ha equazione x=0) e l’equazione della funzione con l’asse x (che ha equazione y=0). Tramite rapide sostituzioni si trovano eventuali punti di intersezione.
Lo studio del segno si fa per capire dove la funzione è positiva e dove è negativa, quindi ci da l’idea di quale semipiano cancellare e quale tenere buono in quel determinato intervallo di valori. Si prende la funzione e la si pone maggiore di zero, andando a fare un classico studio del segno. A seconda del tipo di funzione (prodotto, frazione, funzione logaritmica) dobbiamo arrivare ad uno studio del segno e una sua rappresentazione grafica e usiamo le regole viste nella sezione del sito “disequazioni”. In base ai segni ottenuti, andiamo a cancellare le zone del grafico opposte rispetto a quelle ottenute dallo studio del segno poiché siamo certi che in quegli intervalli non è presente il grafico della funzione. (se ad esempio per un certo intervallo esce il segno negativo vuol dire che in quell’intervallo la funzione si trova interamente sotto l’asse x e quindi posso cancellare la zona che si trova al di sopra di esso). Viceversa ovviamente per le zone negative.
I limiti della funzione si fanno in tutti gli estremi del dominio, ovvero dopo aver scritto il dominio come intervalli si deve fare un limite per ciascuna parentesi tonda che si ha nel dominio. I valori dei limiti ci servono a determinare le equazioni degli eventuali asintoti, secondo lo schema degli asintoti che trovate nell’apposita sezione del sito. Ribadisco l’importanza di fare i limiti dopo aver rappresentato il dominio e averlo scritto sottoforma di intervalli poiché questo metodo ci permette di capire quanti e quali limiti fare in ciascun esercizio, senza il rischio di pasticciare da un punto di vista algebrico o grafico. Gli asintoti si ottengono confrontando il valore a cui tende il limite rispetto al valore ottenuto dal limite stesso. Traccio poi gli asintoti (che sono delle rette) e trovi così il comportamento della funzione negli estremi del dominio.
Il sesto punto dello studio della funzione è la derivata prima, con lo scopo di studiarne poi il segno e determinare i punti stazionari e gli intervalli di monotonia (cioè gli intervalli di crescenza e decrescenza). Dopo aver calcolato la derivata e averla scritta nel modo più scomposto possibile, ne studiamo il segno e poniamo sullo studio del segno le frecce nel seguente modo : dove la derivata è positiva la funzione cresce, quindi freccia verso l’alto, dove la derivata è negativa la funzione decresce, quindi la freccia è verso il basso. Questa tecnica ci permette visivamente di capire come collocare i punti stazionari (cioè i punti dove la derivata è nulla). Un “punto stazionario”, può essere un punto di minimo, un punto di massimo o un punto di flesso a tangente orizzontale, ma la parola punto stazionario implica che la derivata sia nulla e che quindi in quel punto la retta tangente al grafico della funzione sia una retta orizzontale. La natura del punto è determinabile osservando lo studio del segno della derivata nell’intervallo precedente e successivo a quel punto.
Settimo e ultimo punto è il calcolo della derivata seconda della funzione. Esso a volte è piuttosto complicato, soprattutto in caso di calcoli lunghi e complicati. L’informazione che ci dà la derivata seconda deriva dal suo studio del segno perché dove la derivata seconda è positiva, la funzione ha concavità positiva ed è rivolta verso l’alto (si dice che è convessa). Dove la derivata seconda è invece negativa la concavità della funzione è negativa e la funzione è rivolta verso il basso. (funzione convessa) I punti in cui la derivata seconda passa da positiva a negativa, cioè i punti in cui si annulla la derivata seconda) sono chiamati punti di flesso a tangente obliqua. Se quegli stessi punti erano già dei punti stazionari, non vanno più presi in considerazione nello studio della derivata seconda, ma è uno scenario poco comune.
Infine, ultima cosa da fare è quella di le varie informazioni precedentemente trovate e, se ho fatto tutto accuratamente, posso tracciare un ottimo grafico di funzione, completo in tutte le sue parti e senza margine di errore o imprecisioni.

vediamo un esempio di studio di funzione nella seguente slide. L’esercizio è piuttosto semplice perchè si tratta di una funzione polinomiale (cioè razionale algebrica) frazionaria. Si procede a fare le sette operazioni elencate prima nell’ordine descritto e si riportano i risultati progressivamente sul grafico. In questo caso c’è una versione meno estesa e più sintetica dello studio di funzione perché è stata omessa la parte sulle derivate, quindi parleremo di grafico “probabile” di funzione visto che non andremo a possedere tutte le informazioni necessarie.

anche nel prossimo esercizio valgono le stesse identiche considerazioni fatte per il precedente. Abbiamo di nuovo una funzione polinomiale (cioè razionale algebrica) frazionaria. Qua la novità essenzialmente è che questa è una funzione dispari e quindi potrà essere ribaltabile rispetto all’origine. Potremo decidere di studiarne solo metà e ribaltare il grafico simmetricamente e questo comporterà notevoli vantaggi sui calcoli e sui procedimenti (dovendo fare metà delle operazioni previste normalmente e potendo sfruttare la simmetria mi agevolo molto il calcolo).

la peculiarità dell’esercizio nella prossima slide è quello di essere una funzione irrazionale frazionaria di primo grado. Il calcolo del dominio prevederà uno studio del segno poiché sotto la radice compare una frazione e vogliamo essere certi che sia positiva o nulla. Lo studio del segno si rivela essere superfluo in casi come questo perché avendo tutta la funzione sotto il segno di radice con indice pari, sicuramente non potrà mai essere negativa e quindi, ovunque esiste, è certamente positiva. Ci saranno asintoti orizzontali ai margini del dominio e la derivata ci indicherà che la funzione è sempre crescente nel suo dominio.