Circonferenza

la circonferenza è una delle principali coniche che, di norma, viene affrontata nei licei nel pentamestre del terzo anno. In queste slides verranno approfonditi esercizi riguardanti il grafico della circonferenza nota la sua equazione, la ricerca dell’equazione della circonferenza note tre condizioni (bisogna determinare il valore di tre parametri, dunque servono tre condizioni da porre a sistema), esercizi sui fasci di circonferenze (generatrici, punti base, circonferenze degeneri), la posizione reciproca di due circonferenze nel piano cartesiano e quella tra rette e circonferenze, con attenzione anche alla ricerca della tangenti, sia condotte da punti esterni che da punti appartenenti alla circonferenza stessa.

si può innanzitutto dare una definizione di circonferenza : è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto C, detto centro. Questa definizione però non ci soddisfa troppo nella risoluzione degli esercizi, in quanto è generica e troppo poco operativa. Parliamo quindi dell’equazione di una circonferenza. La circonferenza nel piano cartesiano è sempre definita da un’equazione del tipo x²+ y² + ax + by + c = 0.
La sola cosa importante per poter essere una circonferenza è che sia la x al quadrato che la y al quadrato abbiano lo stesso coefficiente. Se cosi non fosse, non si tratta di una circonferenza. Nel caso in cui abbiano lo stesso coefficiente, ma non è il +1, dividiamo tutto per il coefficiente che hanno i termini quadratici per portarci in forma canonica prima di applicare ragionamenti o formule che vedremo. Un’altra condizione da rispettare affinchè la circonferenza sia reale è che il raggio deve essere un numero non negativo, quindi bisogna che la quantità sotto radice sia maggiore o uguale a zero. Se fosse il raggio nullo avremmo il caso della circonferenza degenere, cioè una circonferenza infinitamente piccola con il raggio nullo e la circonferenza che corrisponde con il centro stesso, quindi un solo punto.) In alternativa c’è la circonferenza classica, non degenere, con il raggio un qualsiasi numero positivo. A seconda poi dei valori assunti da a,b,c, si può capire se la circonferenza ha centro in uno dei due assi (se “a” =0 il centro è sull’asse y, se “b”=0 il centro è sull’asse x), se invece entrambi i valori valgono zero il centro è nell’origine. Tutte le circonferenze che non hanno il termine noto sono invece delle circonferenze che passano per l’origine degli assi.
Le posizioni reciproche tra rette e circonferenze sono tre :
-retta esterna ad una circonferenza (se faccio il sistema mettendo l’equazione della retta e l’equazione della circonferenza mi rimane il delta negativo, cioè sistema impossibile perché le due non hanno alcun punto di contatto).
-retta tangente ad una circonferenza (se faccio il sistema tra l’equazione della retta e l’equazione della circonferenza mi rimane il delta nullo), quindi un solo punto in comune, cioè il punto di tangenza.
-retta secante la circonferenza (e faccio il sistema tra l’equazione della retta e l’equazione della circonferenza mi rimane il delta positivo del sistema) e troverò quindi due punti, cioè le coordinate dei due punti di intersezione.
Per stabilire se un punto appartiene o meno a una circonferenza, è possibile sostituirlo all’interno dell’equazione della circonferenza e vedere se esce dal calcolo un’identità. In caso affermativo, allora quel punto appartiene alla circonferenza. Se così non fosse, il punto è interno o esterno alla circonferenza, ma sicuramente non gli appartiene : per capire se è dunque interno o esterno è sufficiente fare la distanza (con apposita formula che si trova sul sito) tra quel punto e il centro della circonferenza. Il risultato lo metto poi a confronto con il raggio e se la distanza centro-punto è minore del raggio, allora il punto è interno. Se la distanza centro-punto è maggiore del raggio allora il punto è esterno. Queste valutazioni sono importanti ad esempio per stabilire il numero di tangenti che è possibile trovare di un punto rispetto ad una circonferenza. Se il punto è interno alla circonferenza, per esso non è possibile tracciare alcuna tangente alla circonferenza. Se il punto appartiene alla circonferenza, ci sarà una sola retta tangente alla circonferenza passante per quel punto e il raggio in quel punto sarà perpendicolare alla tangente. Se invece il punto è esterno alla circonferenza, allora potremo tracciare due tangenti alla circonferenza passanti per quel punto. Stabilito il numero di tangenti che si possono trovare, vediamo le tecniche per trovarle :
– se il punto è esterno ci sono due tangenti. Scriviamo il fascio proprio di infinite rette passanti per il punto esterno, usiamo la formula del fascio proprio. Mettiamo a sistema con l’equazione della circonferenza, sostituiamo una nell’altro e imponiamo il delta del sistema uguale a zero (condizione universale di tangenza), risolvendo poi rispetto al coefficiente angolare “m” come incognita. Dovremmo trovare due diversi valori di m, uno ciascuno le due rette tangenti.
– se il punto appartiene alla circonferenza, il metodo migliore per trovare l’unica tangente che ammette in quel punto è la formula di sdoppiamento. Rimarco il fatto che questa formula è applicabile esclusivamente se il punto appartiene alla circonferenza e quindi ci sarà una e una sola tangente.
-se il punto è invece interno alla circonferenza non c’è alcuna tangente da cercare, perchè non ne ammette alcuna.

nel primo esercizio della slide, esercizio 161, si vuole trovare l’equazione della circonferenza passante per A e per B e avente il suo centro sulla retta r. Disegnare poi tutto nel piano cartesiano. Come sempre quando vogliamo trovare l’equazione di una circonferenza, ci servono informazioni a sufficienza per determinare i valori di “a”,”b” e “c”. In questo esercizio abbiamo un’informazione ciascuna dai due punti di passaggio A e B e la terza informazione deriva dalla retta su cui si trova il centro della circonferenza. Mettiamo le tre informazioni a sistema e il sistema è risolvibile in quanto è composto da tre equazioni in tre incognite. Tra i vari metodi di risoluzione si è scelto la riduzione. Nell’esercizio seguente, esercizio 188, vogliamo trovare l’equazione della circonferenza che passa per A, B e che sia tangente alla retta di equazione x-4=0. Per i punti dati come nell’esercizio precedente, per prima cosa andremo a sostituire le coordinate dei punti all’interno dell’equazione canonica della circonferenza, mentre per la tangente bisogna mettere a sistema l’equazione della tangente con l’equazione della circonferenza canonica, sostituire la tangente nella circonferenza e porre il delta del sistema uguale a zero. Questa equazione derivante dal delta nullo sarà la terza equazione del sistema risolutivo. In questo caso come metodo si è scelta la sostituzione e ci sono due circonferenze che soddisfano queste richieste. Nel terzo e ultimo esercizio della slide, esercizio 142, abbiamo il centro di un fascio di circonferenze e la lunghezza di una corda formata sulla circonferenza da una retta nota (y=2). Scriviamo quindi l’equazione del fascio di circonferenze con quel centro indicato e lasciamo indicato “r” come incognita. Mettiamo a sistema con la retta nota y=+2 e troviamo le coordinate dei due punti A e B, coordinate ovviamente in funzione del raggio r incognito. Facciamo poi la formula della distanza tra due punti (A e B, scritti parametricamente) e imponiamo che quella distanza debba essere uguale a 4, cioè la distanza nota della corda. Risolvendo poi rispetto a r e trovando il raggio della circonferenza iniziale andiamo a trovare quale, tra le infinite circonferenze del fascio, soddisfa le nostre richieste.

nel primo esercizio della prossima slide, esercizio 191, bisogna trovare le tangenti comuni alle due circonferenze di equazioni x²+ y²-2y-=0 e x²+ y²+6y=0. [y=2x+4; y = -2x+4].
La tecnica corretta è quella di mettere a sistema la generica retta y=mx+q separatamente con le due circonferenze date. In entrambi i sistemi andremo prima a sostituire la generica retta all’interno della circonferenza, e in seguito a porre il delta del sistema nullo (condizione di tangenza) e infine prenderemo le due equazioni trovate (dove avremo come incognite “m” e “q”) e le metteremo tra loro a sistema trovando le due rette che sono tangenti comuni alle circonferenze date.

nel primo esercizio della slide, esercizio 296, vogliamo sapere le equazioni della circonferenze che hanno il centro sulla retta data (y=2), che passano per il punto A [5;-2] e che staccano sull’asse x una corda di lunghezza 8 (ho chiamato BC i due punti di intersezione della generica circonferenza con l’asse x). Il fatto poi che il centro sia su una retta nota (y=2, retta orizzontale, parallela all’asse x) ci permette di trovare subito il valore di “b”. La seconda informazione la otteniamo andando a sostituire le coordinate del punto A all’interno dell’equazione canonica della circonferenza, mentre per la terza e ultima informazione prendo una generica circonferenza canonica e metto a sistema la circonferenza appena scritta con l’asse x e determino le coordinate (in forma parametrica) dei due punti BC dei quali sappiamo la distanza. Ci saranno due circonferenze che risponderanno alle nostre richieste.

nell’esercizio 228 di pagina 333, ci viene chiesto di trovare l’equazione di una circonferenza fornito il centro di una circonferenza C(2;-6), e ci viene detto che forma una corda lunga 14 con l’asse delle x. Quindi questo esercizio possiamo risolverlo in maniera parametrica, cioè di questa circonferenza non sappiamo il raggio, ma soltanto il centro. Quindi lasciamo la “r” indicata e la portiamo avanti nei calcoli, fino a risolvere rispetto a quel parametro nel calcolo finale, uguagliando alla lunghezza della corda. Poniamo poi a sistema la circonferenza parametrica trovata con l’asse delle x e imponiamo che la corda abbia lunghezza 14. Prima determiniamo parametricamente le coordinate dei due punti di intersezione (che chiamo A e B, lasciando il raggio come incognita all’interno dei punti) e poi eseguo la formula della distanza tra due punti che però, essendo orizzontale, possiamo scriverla come modulo della differenza tra le ascisse dei punti. E’ fondamentale porre le C.E. perchè bisogna tenere conto che siamo in geometria analitica e quindi il raggio non potrà essere negativo. Questo ci permetterà di escludere eventuali valori che renderebbero negativo il raggio.

Nel secondo esercizio della slide, esercizio 225 di pagina 333, ci viene data una retta e ci viene spiegato come dobbiamo trovare l’equazione di una circonferenza che ha come diametro il segmento di estremi A e B, dove quei punti sono le intersezioni della retta data con agli assi cartesiani. Metto quindi a sistema separatamente la retta con i due assi cartesiani e trovo le coordinate dei due punti che chiamo A e B. Ciò fatto possiamo ricordare come il centro della circonferenza corrisponde con il punto medio di uno qualsiasi dei diametri della circonferenza, quindi facciamo la formula del punto medio e troveremo il centro. Il raggio è poi la metà del diametro, quindi possiamo fare la formula della distanza tra due punti (in questo caso i punti A e B) e dimezzando poi quel valore otterremo il raggio. Avendo centro e raggio possiamo fare la formula per l’equazione della circonferenza noti centro e raggio e troviamo così l’equazione richiesta. La verifica che la circonferenza passi per l’origine può essere fatta per via grafica (notiamo come effettivamente passa per l’origine), oppure per via algebrica notando come non ci sia nell’equazione della circonferenza il termine noto “c” e questo significa che passa proprio per l’origine.

esercizio 1 pagina 379 ci chiede di stabilire l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e raggio = 2. Non serve un particolare commento perché si tratta essenzialmente di applicare la formula per l’equazione di una circonferenza noti il centro e il raggio.

nell’esercizio successivo, esercizio 129 pagina 388, abbiamo l’equazione di una circonferenza x² + y² – 2x = 0 e il vettore J (3;-1). Dobbiamo trovare la nuova equazione della circonferenza dopo che è stata traslata di quel vettore dato. Conviene pensare che la circonferenza subisce una traslazione, quindi le sue dimensioni non cambiano perché è sempre della stessa grandezza (raggio sempre costante). Conviene trovare il centro iniziale di questa circonferenza, spostarlo a destra di 3 unità e in basso di un’unità secondo il vettore dato e scrivere l’equazione della nuova circonferenze mantenendo sempre lo stesso raggio di prima. La formula da usare sull’ultimo passaggio è sempre quella di equazione della circonferenza noti centro e raggio.

nell’ultimo esercizio della slide, esercizio 188 pagina 393, ci viene dato un punto e una circonferenza, punto che è esterno rispetto alla circonferenza. Ci viene chiesto di trovare le tangenti condotte da quel punto alla circonferenza. Per verificare che il punto è esterno, potremmo fare la distanza punto dato e centro della circonferenza e metterlo a confronto con il raggio. Se la distanza centro-punto è maggiore del raggio ciò implica che il punto è esterno alla circonferenza. Quando il punto è esterno alla circonferenza, ci saranno sempre due tangenti alla circonferenza. Per trovarle scriviamo il fascio proprio di rette passanti per il punto esterno e poniamo il fascio a sistema con la circonferenza, imponendo la condizione di tangenza, cioè il delta uguale a zero. Risolviamo poi rispetto al coefficiente angolare “m” e troviamo i due valori che soddisfano l’equazione, andando poi a sostituirli nel fascio per trovare le due rette cercate.