Ellisse

l’ellisse è una delle coniche più importanti e ha molte applicazioni nella geometria analitica. La prima distinzione da fare è tra ellisse con i fuochi sull’asse delle x ed ellisse con i fuochi sull’asse delle y. C’è poi anche il caso di ellisse traslata, quindi i fuochi saranno posizioni su una retta parallela all’asse delle o so una retta parallela all’asse delle y.
Per chiarire in quale caso ci troviamo conviene innanzitutto mettere l’ellisse in forma canonica e osservare i denominatori delle incognite quadratiche. Il maggiore dei due valori ci indicherà la posizione dei fuochi.
Iniziamo con un formulario riguardo le due principali casistiche :

nel primo esercizio ci viene chiesto di rappresentare l’ellisse nota la sua equazione. Portiamo quindi l’equazione in forma canonica (facciamo il reciproco del primo coefficiente) e poi seguiamo ordinatamente il formulario visto sopra (il caso di destra, quello dell’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y).

Nell’esercizio della seconda parte della slide ( esercizio numero 72) bisogna trovare l’equazione di un ellisse note alcune sue caratteristiche. Partendo dall’equazione canonica dell’ellisse si deve andare a determinare i valori di “a” e “b”, pertanto avrò due incognite e quindi mi servono minimo due informazioni che la riguardano. Le informazioni che possono essere fornite sono:
-la posizione di un vertice
-l’eccentricità
-la lunghezza di uno dei semiassi
-la posizione dei fuochi
-il valore di una tangente
-le coordinate di un punto di passaggio.

tra queste bisogna averne almeno due. Si usano tutte in modo diverso e bisogna andare a scrivere un sistema di due equazioni in due incognite. La matematica dice che un sistema è sempre risolvibile se il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite, quindi avendo due incognite bisogna necessariamente avere due equazioni da collegare.
Nell’esercizio 72 bisogna determinare l’equazione dell’ellisse con centro di simmetria nell’origine, di eccentricità 2√5/5.
Notiamo che la posizione del fuoco è sull’asse y, quindi l’ellisse avrò b>a.

un altro caso molto frequente è quello in cui vengono dati due punti e viene sempre richiesto di trovare l’equazione dell’ellisse con quelle caratteristiche date. Nell’esercizio seguente (esercizio numero 77) dobbiamo trovare l’equazione dell’ellisse passante per i punti (— 2√2; 2) e (√5; 4)?
qua andiamo a sostituire le coordinate dei due punti (che chiamo P e Q) nell’equazione canonica dell’ellisse e metto a sistema le due equazioni così ottenute

un altro possibile caso, sempre della ricerca dell’equazione dell’ellisse è quello trattato nell’esercizio 89 :
Un’ellisse con centro nell’origine O ha un vertice di coordinate (√10; 0) ed è tangente alla retta di equazione y = 6x – 20. Qual è l’equazione dell’ellisse?
anche qua ci vengono date le due informazioni necessarie. Quella riguardo al vertice ci dà già il valore di “a” mentre quella relativa alla tangente è più complicato da usare. Bisogna mettere a sistema l’equazione canonica dell’ellisse con la retta data, sostituire la retta all’interno dell’ellisse e imporre il delta del sistema uguale a zero.

un altro classico esercizio con l’ellisse è quello di trovare che posizione ha rispetto ad una retta. Ci sono tre casi :
a) se la retta è esterna all’ellisse allora nessun punto di intersezione
b) se la retta è tangente all’ellisse un punto di intersezione
c) se la retta è secante all’ellisse due punti di intersezione e possiamo calcolare la lunghezza della corda individuata.

nell’esercizio più in basso (esercizio numero 62) bisogna trovare l’equazione della tangente all’ellisse di equazione 4x² + y² = 4, nel suo punto di ascissa, che si trova nel quarto quadrante.
in questo caso ci viene detto esplicitamente che la retta è tangente all’ellisse, quindi ci sarà un solo punto di intersezione. Per calcolare l’equazione della retta ci sono due modi ma, quando il punto appartiene all’ellisse conviene di gran lunga usare la formula di sdoppiamento dell’ellisse.

nel primo esercizio viene chiesto di trovare l’ellisse avente un vertice nel punto V dato e che è tangente alla retta data.
Per il vertice andiamo a sostituire le coordinate del punto all’interno dell’equazione canonica dell’ellisse e troviamo la prima delle due equazioni che ci serve. Per la seconda informazione mettiamo a sistema l’equazione canonica dell’ellisse con la retta data e imponiamo la condizione universale di tangenza, cioè il delta uguale a zero.
Mettiamo infine a sistema le due equazioni precedentemente trovate e risolviamo rispetto ai valori di “a” e “b”.

Nell’esercizio successivo (es 187 di pagina 467) trovare l’equazione dell’ellisse passante per A e B e trovare poi l’area del triangolo ABC, dove C è il punto di incontro delle rette tangenti all’ellisse nei suoi punti A e B dati.
Cominciamo con il trovare l’equazione dell’ellisse e utilizziamo il sistema dopo aver sostituito le coordinate di A e B nell’equazione canonica dell’ellisse, andando a creare un sistema di due equazioni in due incognite, dunque risolvibile.
Per trovare invece le due rette in questione conviene usare la formula di sdoppiamento per l’ellisse. La possiamo usare solo quando i punti dei quali dobbiamo trovare le tangenti, appartengono alla conica e quindi c’è una sola tangente.
Infine per l’area del triangolo ABC uso la formula dell’area di un triangolo note le coordinate dei tre vertici.

esercizio 182 – Considera l’equazione (2-h)x² + y² = 2-h e determina per quali valori di h essa rappresenta:
a. un’ellisse;
b. un’ellisse con i fuochi sull’asse x;
c. un’ellisse con i fuochi sull’asse y;
d. un’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate (0,±2)

è un esercizio con i parametri. Conviene innanzitutto riportarsi alla forma normale dell’ellisse (dividiamo tutto per 2-h) e impostiamo in seguito le varie condizioni.

esercizio 183 – Considera l’equazione (h-2)x² + y²=h-1 e determina per quali valori di h essa rappresenta:
a. un’ellisse;
b. un’ellisse con i fuochi sull’asse x;
c. un’ellisse con i fuochi sull’asse y;
d. un’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate (0, ±2).

esercizi sull’ellisse : disegnarla conoscendone l’equazione.
Per prima cosa bisogna sempre portarla in forma canonica, e poi seguire il formulario a inizio pagina per disegnarla.
calcoliamo infine anche l’eccentricità, cioè un valore compreso tra 0 e 1 che ci dice quanto è “sferica” l’ellisse. Più si avvicina ad 1 e più l’ellisse è schiacciata e tende a quella degenere cioè una retta con i fuochi infinitamente lontani. Se invece ha valori piccolissimi e tende a zero, i fuochi sono molto vicini e l’ellisse è praticamente simile a una circonferenza.

nel secondo esercizio si deve scrivere l’equazione dell’ellisse avente un vertice in (0; – 3) e semiasse sull’asse x di misura 2√3. Abbiamo qua invece alcune informazioni e dobbiamo scrivere l’equazione dell’ellisse noti alcuni dati. In questo caso ci viene data la posizione di un vertice (su y) e la misure del semiasse dell’asse x, quindi da questo abbiamo tutte le informazioni necessarie. Dovendo determinare i valori di “a” e “b” sono sufficienti due informazioni per trovare l’equazione.

nel terzo esercizio bisogna trovare l’equazione dell’ellisse avente due dei suoi vertici nei punti di intersezione della retta x-3y+9=0 con gli assi cartesiani. Mettiamo a sistema la retta data con gli assi cartesiani (separatamente, con due diversi sistemi) e troviamo le coordinate dei punti di intersezione. Saranno poi le loro coordinate le lunghezze dei semiassi.

esercizio 31 a) Determina l’equazione della parabola y con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse avente vertice a) la prima parte è trovare l’equazione di una nel punto V(4; 2) e passante per il punto A di coordinate (- 5; – 1).
b) Nel fascio proprio di rette di centro C(9; 0) individua la retta r che forma nel primo quadrante con gli assi
cartesiani un triangolo di area 81/4
c) Stabilisci la posizione reciproca di “gamma” e “r” e individua gli eventuali punti in comune.
d) Scrivi l’equazione dell’ellisse, con gli assi paralleli agli assi cartesiani, avente centro nel punto (6; 3/2) passante per il centro C del fascio di rette e per il punto R (12; 3/2).

a) la prima parte è trovare l’equazione di una parabola note le posizioni del vertice e un punto di passaggio. Bisogna ricordare che è una parabola con asse orizzontale e quindi bisogna invertire sia l’equazione canonica che le coordinate del vertice.
b) scrivo l’equazione del fascio proprio di rette di centro C, lo metto a sistema con gli assi cartesiani e trovo parametricamente le due intersezioni. Per il triangolo POQ sappiamo quanto è la sua area, la scriviamo in formule e risolviamo rispetto a m con la formula inversa.
c) mettiamo a sistema le equazioni della retta e della parabola trovati nei due punti precedenti e il risultato del sistema ci dice la loro posizione reciproca
d) si tratta di un’ellisse traslata con gli assi paralleli agli assi cartesiani. Sostituiamo sia le coordinate del centro dell’ellisse e sia quelle dei due punti di passaggio e creiamo un sistema in due equazioni e due incognite.

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