problemi risolti tramite derivate

capita molto spesso in analisi matematica di dover risolvere alcuni problemi di ottimizzazione, cioè problemi di massimo e di minimo. Il modo migliore e spesso anche l’unico per approcciare questo argomento è, nella maggior parte dei casi, quello di usare la derivata. Il modus operandi è sempre lo stesso : si fissa un’incognita x in modo vantaggioso rispetto al problema e si riferiscono tutti i dati del problema rispetto alla x scelta e agli altri valori noti. Si scrive poi la funzione della quale si vuole sapere il massimo o il minimo e sarà anche lei ovviamente scritta in funzione di x. A quel punto si deriva la funzione e se ne studia il segno, andando a trovare i punti di minimo o di massimo richiesti. Attenzione a ricordarsi sempre di fare il dominio (in modo pertinente alla scelta della x) e di restringere le nostre osservazioni finali al dominio!

vediamo di seguito una serie di esercizi inerenti a ciò che abbiamo appena introdotto. E’ un esempio l’esercizio 438 in cui nella parte di piano delimitata dalla parabola di equazione y =-x²+12x-20 e dall’asse x bisogna inscrivere il rettangolo di perimetro massimo. Per svolgere questo esercizio occorre rappresentare la parabola nel piano cartesiano trovando vertice, asse di simmetria e alcuni punti (magari le intersezione con gli assi). Facciamo poi un sistema in cui mettiamo l’equazione della parabola e l’equazione di una generica retta orizzontale che la interseca in due punti (le condizioni di esistenza dovranno essere che la retta debba essere compresa tra l’asse x e la y del vertice, altrimenti non abbiamo i due punti di intersezione). Troviamo poi parametricamente i due punti di intersezione (in funzione di k) e i relativi due punti che hanno le loro stesse ascisse e ordinata nulla (cioè i corrispondenti punti sull’asse x. Trovo infine parametricamente il perimetro del rettangolo, lo scrivo sottoforma di funzione, la derivo e ne trovo il punto di massimo, andando poi a sostituire la k trovata all’interno dei punti trovati per trovarne le effettive coordinate, questa volta non più parametriche. Quando faccio la derivata ne studio il segno, andando a porla maggiore di zero e andando a determinare eventuali punti stazionari, classificandoli poi di massimo, minimo o flesso a tangente orizzontale. Tengo anche conto del dominio imposto inizialmente. La difformità di nome rispetto alla coordinate del risultato dipende esclusivamente dalla scelta di chiamare un punto in un modo piuttosto che in un altro, la cosa importante è ottenere le coordinate dei punti, a prescindere da come li si è chiamati.

un altro esempio di ciò che abbiamo introdotto pocanzi può essere l’esercizio 475 : Data una circonferenza di raggio r, inscrivi in essa un triangolo rettangolo isoscele ABC di ipotenusa AB. Determina un punto P, sull’arco AB non contenente C, tale che l’area del quadrilatero convesso ACBP sia massima.
Partiamo nella risoluzione ricordando che tutti i triangoli rettangoli isosceli inscritti in una circonferenza hanno l’ipotenusa del triangolo che corrisponde con uno dei diametri della circonferenza. Viceversa tutti i triangoli inscritti in una circonferenza e aventi uno dei lati corrispondenti ad un diametro, sono necessariamente triangoli rettangoli. Quindi osservando la figura noto che l’angolo in P è retto perché la base AB e ABP è un diametro. Oltretutto qualsiasi quadrilatero per poter essere inscritto in una circonferenza deve avere la somma degli angoli opposti supplementari (criterio di circoscrivibilità), quindi se è retto l’angolo in C deve esserlo anche il suo angolo opposto, nel caso specifico P. Scegliamo se chiamare x il lato AP o il lato, BP, tanto il problema è speculare e non cambieranno i risultati. Riferiamo tutte le lunghezze dei quattro lati rispetto all’incognita x scelta e al valore noto del diametro che conosciamo. Usiamo sia la trigonometria che le proprietà dei triangoli rettangoli isosceli per trovare i dati mancanti. applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo ABP per trovare il cateto BP. Determino le due aree dei triangoli e la formula migliore è il semiprodotto dei due cateti del triangolo. Si può usare solo in caso di area del triangolo rettangolo, altrimenti bisognerebbe tenere anche conto del seno dell’angolo compreso tra i due lati che uso. L’area del quadrilatero richiesto è poi la somma delle aree dei due triangoli trovati in precedenza. Trovata infine la funzione dell’area del quadrilatero richiesta la deriviamo e ne troviamo il suo punto di massimo (studiandone il segno). L’incognita è x, mentre “r” è un parametro numerico che ci portiamo avanti esattamente come se fosse una costante e ce la porteremo poi anche nel risultato.

Ancora un altro esempio, nel prossimo esercizio su una semicirconferenza di diametro AB che misura 2r, determinare un punto P in modo che, dette M e H le sue proiezioni ortogonali, rispettivamente sulla retta tangente in A alla semicirconferenza e sul diametro AB, sia massima l’area della superficie del rettangolo AHPM (vedi disegno).
Inseriti tutti i dati dobbiamo stabilire una x (a scelta tra un angolo, un segmento oppure un altro elemento qualsiasi). Prestare attenzione a scegliere l’elemento più vantaggioso possibile perchè altrimenti una scelta inopportuna potrebbe condurre a risolvere equazioni abbastanza complesse. Nel nostro caso abbiamo scelto l’angolo PAB e applico la trigonometria nei triangoli APB e APH per trovare gli elementi che mi servono. Come sempre riferisco tutte le misure utili del disegno all’incognita scelta, poi esprimo la funzione “area del rettangolo” AHPM tutta in funzione di x.
Determinata la funzione dell’area, ci interessa per quale valore dell’angolo x quest’area è massima e quindi ne facciamo la derivata e ne studiamo il segno. Editiamo un po’ i calcoli della derivata per ottenere la forma più semplice possibile per studiarne il segno e dopo aver fatto il grafico della derivata stabilisco che il valore trovato è un punto di massimo assoluto per la funzione. Abbiamo quindi che l’area è massima quando l’angolo ha un valore di 30°.

un ultimo esempio di questa tipologia di esercizio può essere il seguente : “fra tutti i rettangoli di data area, determina quello la cui diagonale è minima”.
E’ un classico problema di massimo e minimo con la derivata, chiamo x la base di un rettangolo generico e trovo gli altri elementi (in particolare la diagonale, in funzione della x fissata e dell’area che posso portare avanti nei calcoli, in quanto è un valore fissato “A”). Trovo la funzione che mi interessa, quella della diagonale AC e poi come al solito la derivo e ne studio il segno. Rappresento poi il suo grafico, applico il dominio escludendo i valori negativi di x che in geometria non avrebbero alcun senso e trovo che in corrispondenza di √A si ha un valore minimo. A quel punto mi accorgo che anche l’altezza avrebbe lo stesso valore di √A, pertanto i rettangoli con data area e diagonale di lunghezza minima sono i quadrati.
Nell’esercizio più in basso, l’esercizio 338 tra le piramidi quadrangolari regolari la cui superficie laterale ha area S, determina la misura dello spigolo di base di quella avente volume massimo. Qua chiamiamo x lo spigolo di base e riferiamo tutti i dati rispetto ad x. Il valore di S è una costante numerica e rappresenta la superficie laterale della piramide. Esattamente come prima troviamo la funzione richiesta, il volume della piramide, lo derivo, ne faccio il grafico e ne determino il punto di massimo assoluto, ma non prima di aver applicato il dominio della funzione (ottenuto dal sistema finale in rosso).