Vettori

sono delle grandezze che non possono essere espresse soltanto tramite un numero. Un vettore è caratterizzato da modulo, direzione e verso e devo specificare tutte e tre per definirlo completamente. Queste sono nel dettaglio le sue caratteristiche per riuscire a individuarlo :
– MODULO: è il numero che esprime quanto è lungo il vettore, cioè quante volte l’unità di misura è contenuta nel vettore.
– DIREZIONE : è la retta su cui giace il vettore, ovvero la direzione in cui si estende. Può essere percorsa in due diversi versi, ma la direzione rimane sempre la stessa.
– VERSO : fissata la direzione, il verso è il senso in cui viene percorsa la direzione. Ce ne sono sempre due possibili e bisogna stabilire quale dei due.
Quando si parla di un vettore bisogna anche stabilire il suo punto di applicazione, ovvero il punto del piano o dello spazio in cui è applicato il vettore.
In fisica bisogna sempre distinguere tra grandezze scalari (quelle che sono definite solo attraverso il modulo) e grandezze vettoriali (quelle espresse fisicamente da dei vettori). Tutte quelle grandezze che sono determinate completamente tramite un numero, cioè il modulo allora sono degli scalari. Esempio: massa, temperatura, tempo, calore specifico, volume, pressione, numero di moli, altezze, lunghezze varie, potenza, ecc. ecc.
Invece i vettori sono quelle grandezze più complesse per le quali bisogna specificare qualcosa in più, ovvero anche direzione, verso e punto di applicazione oltre al modulo. Sono esempi di vettori le forze, le velocità, le accelerazioni, ecc. Graficamente disegniamo i vettori come delle frecce.
Avere a che fare con i vettori è più complicato rispetto agli scalari perché i calcoli a volte possono essere più difficoltosi e le procedura meno immediate. Due vettori si possono sommare graficamente con la regola del parallelogramma e quella del punta-coda, analiticamente con la scomposizione nelle due componenti cartesiane (x e y) e la somma delle componenti. Applicando poi il teorema di Pitagora alla somma delle componenti lungo gli assi cartesiani, possiamo ricostruire il modulo della somma dei vettori. Se devo fare operazioni tra un modulo e uno scalare non c’è problema perché sia il prodotto che il quoziente tra un vettore e uno scalare danno sempre come risultato un vettore. La cosa un po’ più complicata è il prodotto tra due vettori, perché si tratta di prodotto vettoriale e non può essere fatto nel piano (il momento angolare è un esempio di prodotto vettoriale). La cosa complicata non è tanto il modulo (anche se dipende dall’angolo che formano i due vettori), ma è la direzione e il verso, in quanto il prodotto vettoriale si estende nello spazio e non nel piano. La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori che si moltiplicano e il verso è dato dalla regola della mano destra. Il vettore risultante del prodotto vettoriale è sempre perpendicolare al piano formato dai due vettori moltiplicati. Il prodotto vettoriale è massimo quando i due vettori sono tra loro ortogonali (cioè perpendicolari).
come si sommano invece due vettori? se i vettori sono paralleli, allora sommo semplicemente i loro moduli. Se i vettori sono antiparalleli allora faccio una sottrazione tra i due moduli e il vettore risultante avrà il verso del maggiore dei due vettori. Se sono perpendicolari, posso sfruttare la relazione del teorema di Pitagora, mentre se sono disposti con angolazioni casuali ho due possibilità. A livello algebrico bisogna scomporre ciascun vettore nelle sue due coordinate cartesiane x e y, utilizzando ordinatamente il coseno e il seno dell’angolo moltiplicati per il modulo del vettore. Sommo poi le componenti lungo x e quella lungo y, andando poi a ricomporre il risultato con il teorema di Pitagora, usando come cateti la somma lungo le direzioni x e y. A livello grafico, quindi visivamente, si possono usare il metodo del parallelogramma o quello del punta-coda. Quello del parallelogramma consiste nel riportare dalla punta di ciascun vettore, l’altro vettore e i due lati andranno ad unirsi nel vertice opposto del parallelogramma che si è formato, opposto ovviamente rispetto al punto di partenza dei due vettori. A quel punto traccio la diagonale da punto di partenza verso vertice opposto del parallelogramma e quello è graficamente il vettore risultante. Punta-coda consiste invece nel riportare sulla punta di uno solo dei due vettori, l’altro vettore. Dopo di che, faccio partire un segmento che, partendo dall’origine del primo vettore, lo unisce alla punta dell’ultimo che ho disegnato e quel vettore uscito è il vettore somma. Con il metodo del parallelogramma posso sommare solo due vettori alla volta, se poi ce ne fosse un terzo devo sommarlo alla somma dei primi due, facendo tutte le operazioni separatamente. Se invece uso il metodo del punta-coda, posso sommare più vettori insieme, riportando ciascuno progressivamente dalla punta del precedente, anche per molti vettori. Una volta riportati tutti mi sarà sufficiente unire il punto di partenza del primo vettore con il punto di arrivo (cioè la punta della freccia) dell’ultimo vettore e quello sarà il vettore sommatoria di tutti gli altri vettori.

nella seguente slide ad esempio abbiamo un vettore inclinato di un certo angolo alfa, che forma un triangolo rettangolo con le sue componenti : visto che è presente un triangolo rettangolo, possiamo applicare le formule della trigonometria (è un argomento di matematica che si fa poi in quarta superiore) : in un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto tra la misura dell’ipotenusa e il coseno dell’angolo tra di essi compreso e quindi in questo modo posso ricavare la componente lungo x del vettore, cioè sto passando da componente polare a componente cartesiana.
Per la componente y faccio sempre riferimento alla trigonometria e ricordo che in un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto tra la misura dell’ipotenusa e il seno dell’angolo opposto al cateto che sto cercando, quindi così posso risalire a v_y. Se io invece volessi rapportare direttamente le due componenti cartesiane tra di loro posso ricordare che in un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto tra la misura dell’altro cateto e la tangente dell’angolo opposto al cateto che sto cercando.
Nella parte bassa della slide c’è un esercizio di esempio: di un vettore sappiamo che la componente verticale (quindi lungo y) vale 13N e sappiamo che il vettore v è nel primo quadrante ed è lungo 17N. Vogliamo sapere che angolo forma con il verso positivo dell’asse delle x e sapere quanto vale la componente orizzontale di quel vettore (quindi quella lungo l’asse x). Usiamo le formule della trigonometria appena viste e possiamo risalire a tutto ciò che stavamo cercando. Avremmo anche potuto utilizzare ad un certo punto il teorema di Pitagora che è valido solo per i triangoli rettangoli, quindi nel nostro caso andrebbe bene. Però il teorema non ci da possibilità di sapere nulla degli angoli, quindi ha un uso piuttosto limitato sui vettori. Se invece utilizziamo la trigonometria, anche solo sapendo un angolo e uno dei tre vettori, possiamo trovare tutto il resto con la corretta applicazione delle formule.
C’è poi un altro esempio, c’è un oggetto poggiato su un piano orizzontale e una forza inclinata che preme su di esso. Vogliamo sapere quanto valgono le componenti di quella forza. Dopo alcuni brevi calcoli in base alla già citata trigonometria, possiamo notare che dei 150N fatti in direzione obliqua sulla scatola, 58,6N vengono fatti orizzontalmente verso destra, mentre 138,1N vengono fatti verticalmente verso il basso. Quando io analizzo la situazione in figura, mi interessa sempre sapere le forze nelle due direzioni parallele agli assi cartesiani, perché non me ne faccio nulla della forza inclinata e non posso utilizzarla così com’è. Una volta che ho le componenti, posso trascurare la forza perché lavoro solo con le sue componenti dopo averle calcolate.

un altro esempio sulla scomposizione dei vettori lo abbiamo nella prossima slide. Nel primo esercizio c’è una massa poggiata su un piano orizzontale sulla quale agiscono 3 forze, tutte con diverse inclinazioni. Vogliamo sapere COMPLESSIVAMENTE quanto sono le risultanti orizzontale e verticale agenti sulla massa. Si scompongo tutte le forze oblique nelle loro componenti (sei componenti in tutto, due per ciascun vettore inclinato), come visto poco sopra. Bisognare stare attenti a quando usare il seno dell’angolo e quando il coseno dell’angolo, a seconda che la componente sia rispettivamente opposta all’angolo noto oppure adiacente all’angolo noto. Richiamiamo poi il concetto di risultante di un sistema di forze lungo una direzione: è un’unica forza lungo la direzione scelta che approssima il comportamento di tutte le altre forze lungo quella direzione. Bisogna sempre scegliere un verso per la risultante e poi inserire i valori di tutte le forze in quella direzione, positive se nel verso scelto, negative se in verso opposto rispetto a quello scelto. Il verso della risultante si può scegliere a caso, se poi il risultato della sommatoria algebrica è negativo, significa che in realtà la risultante lungo quella direzione è nel verso opposto rispetto a quello arbitrariamente scelto. Dopo qualche calcolo si nota che l’effetto complessivo delle tre forze F1, F2 e F3 su quella massa, è di 9,39N orizzontalmente verso destra e di 42,67N verticalmente verso il basso. Se volessimo calcolare la forza risultante totale agente su quel corpo, possiamo utilizzare il teorema di Pitagora, ma non è questa la richiesta specifica di questo esercizio.
Nella parte bassa della slide c’è invece un rapido ripasso sui vettori: somma e sottrazione di vettori, moltiplicazioni di vettori per scalari e moltiplicazione di vettore per uno scalare.