le frazioni algebriche sono espressioni matematiche definite mediante il rapporto tra due polinomi o la composizione di due o più frazioni con queste caratteristiche. Per riuscire a risolvere efficacemente le frazioni algebriche bisogna avere buona manualità nello scomporre i polinomi e quindi conoscere bene i cinque modi con cui si può scomporre un polinomio. Consigliamo quindi di ripassare prima bene i modi con cui scomporre un polinomio e solo in seguito affrontare la risoluzione delle frazioni. Negli esercizi che seguono ci sarà comunque un vasto ripasso delle scomposizioni.
A seconda del tipo di testo dell’esercizio che abbiamo davanti bisogna procedere in maniera diversa. Solitamente la prassi è prima scomporre i polinomi, poi passare direttamente a fare delle semplificazioni se è possibile farlo. In alternativa, se sono presenti due o più frazioni, dopo averle scomposte di passa a sommarle nel caso ci siano somme algebriche altrimenti a moltiplicarle o dividerle se il testo lo richiede. Dopo aver ottenuto un’unica frazione si prova a scomporre anch’essa e si semplifica tutto il semplificabile prima di ottenere il risultato finale.
In questa prima slide di esempio ci sono alcuni richiami alla scomposizione di un polinomio mediante il quarto metodo, cioè somma e prodotto, chiamato anche trinomio caratteristico di secondo grado o trinomio notevole di secondo grado. In seguito troviamo un ripasso anche della differenza di cubi, cioè un binomio composto da due monomi, entrambi cubi perfetti. Gli esercizi sono in questo caso piuttosto semplici e immediati poiché abbiamo sempre a che fare con una singola frazione e quindi basta qualche breve passaggio per ottenere il risultato.
nella slide a seguire nel primo esercizio, esercizio 153 c’è una frazione algebrica da scomporre e semplificare: al numeratore c’è un raccoglimento a fattor parziale, al denominatore possiamo riconoscere una differenza tra quadrati. In quello successivo, esercizio 156 si tratta di scomposizioni e successive possibili semplificazioni. Al denominatore riconosciamo subito la differenza tra due quadrati perfetti (che sarà poi ulteriormente scomponibile nello stesso modo). Sopra vediamo che si tratta di un trinomio, che può essere scomposto nel modo analogo del trinomio caratteristico di secondo grado (pur essendo qua di grado maggiore, ma le modalità sono le stesse), quindi useremo somma e prodotto. Nella semplificazione finale i due polinomi che abbiamo semplificato sarebbero potuti essere scomposti come differenza di quadrati. Essendo però polinomi identici, li abbiamo semplificati anche senza la necessità di scomporli. In quello successivo, esercizio 463, non bisogna iniziare a semplificare come nei casi precedenti, perché il testo è diverso. Bisogna quindi prima risolvere tutti i calcoli algebrici e solo in seguito semplificare. Bisogna poi notare varie semplificazioni che si possono fare durante lo svolgimento : dal riconoscere il quadrato del binomio alla differenza di quadrati (in questo caso quella nota come “generalizzata” in cui al posto di un monomio il primo termine è un polinomio elevato a esponente pari). La difficoltà maggiore è la scomposizione di quella differenza tra quadrati perché il primo dei due quadrati perfetti non è un monomio come siamo abituati, ma si tratta di un binomio. Perde il suo esponente quando ne facciamo la radice e la base rimane uguale. Nell’ultimo esercizio della slide, il 464, si parte scomponendo i denominatori tramite il trinomio caratteristico di secondo grado, nella sua variante letterale. Si tratta quindi di un particolare tipo di trinomio caratteristico di secondo grado in cui oltre la parte numerica appare anche una parte letterale. Adottiamo lo stesso ragionamento del trinomio caratteristico, ma con inclusa la parte delle lettere che vengono però considerate come se fossero un numero.
anche negli esercizi a seguire si adottano le stesse tecniche. Prima si scompone con le tecniche note e poi si procede a fare minimo comune multiplo con i polinomi scomposti nei modi migliori possibili. Una volta svolti i calcoli si semplifica ciò che è possibile fare e si ottiene il risultato scritto in maniera più raccolta possibile. In particolare in questa slide si usa molto il raccoglimento totale (o raccoglimento a fattor comune), il raccoglimento parziale e il riconoscimento di uno dei prodotti notevoli, quali : quadrato del binomio, cubo del binomio, quadrato del trinomio, differenza di quadrati e somma e differenza di cubi.
stessa situazione vista in precedenza c’è anche nella prossima slide. I denominatori qua sono un po’ più complessi e quindi richiedono massima attenzione nella scomposizione. Essenziale mantenere pulizia e ordine nello svolgimento per non incorrere in errori di confusione o di segno. Segue poi nella seconda parte della slide un ripasso ed esercizi guidati di semplicissime frazioni algebriche dove c’è una sola frazione e quindi la tecnica corretta è semplificare fattorizzando numeratore e denominatore e semplificare ciò che si può.
anche negli esercizi seguenti la richiesta è sempre quella di semplificare le frazioni algebriche, ma l’obiettivo dei primi esercizi è quello poi di scrivere le condizioni di esistenza. Dovendo risolvere poi equazioni ponendo il denominatore diverso da zero, l’obiettivo primario è quello di semplificare il polinomio al denominatore. Questa slide può essere integrata con le informazioni relative che si trovano nella sezione “dominio” del sito per capire le motivazioni per le quali bisogna porre il denominatore diverso da zero. Trattandosi qua di un esercizio con le frazioni algebriche è possibile che compaiano due lettere e che quindi le condizioni di esistenza siano di una lettera in funzione dell’altra. Questa situazione non capita solitamente con le funzioni, a meno che non siano di carattere parametrico. Nella parte in basso della slide ci sono invece classici e semplici esercizi di semplificazioni di frazioni algebriche.
situazione del tutto simile alle precedenti slides anche nella prossima. Prima si scompongono i vari denominatori (quelli scomponibili) e poi si fa il minimo comune multiplo. Si fanno i calcoli opportuni, le scomposizioni opportune al numeratore e si semplifica ciò che è possibile.
nella prossima slide c’è un piccolo focus su un metodo in particolare per la scomposizione dei polinomi, cioè il trinomio caratteristico di secondo grado. Al numeratore cerchiamo due numeri che sommati tra di loro ti danno il termine centrale, cioè +1. Moltiplicati tra loro danno il termine noto, cioè -6. Visto che il termine noto è negativo, i due numeri avranno segno opposto. Visto che la somma è positiva (+1) il più grande in valore assoluto dei due numeri sarà positivo. Andiamo a vedere in quale tabellina c’è il numero 6 e notiamo che i valori sono 2 e 3. Prendendoli con i segni corretti secondo le precisazioni fatte sopra, sono +3 e -2. Riscrivo il numeratore come : (x+3)*(x-2). Stesso identico metodo anche al denominatore. Cerchiamo due numeri che sommati tra loro danno come somma il termine centrale (-6) e moltiplicati tra loro il termine noto (+8). Prodotto positivo (cioè i numeri concordi, con lo stesso segno) e somma negativa. Quindi i due numeri sono entrambi negativi. Nella tabellina dell’8 troviamo 4 e 2, e aggiustando i segni avremmo : -4 e -2. Posso quindi riscrivere il denominatore come (x-2)*(x-4). Vado a montare di nuovo la frazione con le due scomposizioni fatte e semplifico i binomi identici. Stesse tecniche usate anche negli esercizi a seguire : in alcuni casi bisogna passare da numeri decimali a frazioni prima di riconoscere quadrati perfetti o quadrati del binomio. Vederli scritti in forma frazionaria è più semplice che averli come numeri decimali.
anche in queste ultime due slides ci sono esercizi in linea con i precedenti, quindi si procede in modo analogo. Forse qua gli esercizi sono un po’ più complessi perché i testi sono un pochino più elaborati e con qualche calcolo in più, ma la tecnica di risoluzione è assolutamente la stessa dei numerosi casi precedenti.
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