Funzioni goniometriche

la goniometria è quella branca della matematica che si occupa dello studio delle relazioni che intercorrono tra gli angoli.
Vengono infatti introdotte alcune nuove funzioni definite appunto come funzioni goniometriche (come il seno e il coseno e alcune altre) per valutare alcune misure strettamente legate al concetto di angolo, espresso spesso sottoforma di radianti. Con le funzioni goniometriche si possono poi risolvere diverse espressioni, rappresentarne i grafici, studiarne le funzioni e arrivare a risolvere equazioni, disequazioni e sistemi goniometrici. Ci saranno da vedere formule caratteristiche, archi associati e tante tecniche di risoluzione degli esercizi.

iniziamo nella prima slide a introdurre le due relazioni fondamentali della goniometria. Quando si parla di circonferenza goniometriche si intende sempre la circonferenza che ha raggio 1. Se io riporto la situazione in un triangolo all’interno della circonferenza noto che i tre segmenti formano un triangolo rettangolo in cui il raggio che vale 1 rappresenta l’ipotenusa, mentre le due proiezioni sugli assi cartesiani (rispettivamente il coseno la proiezione su x e il seno la proiezione su y)rappresentano i due cateti del triangolo. Essendo un triangolo rettangolo possiamo certamente applicare il teorema di Pitagora e da lì nasce infatti la prima relazione fondamentale della goniometria. La seconda relazione fondamentale, riguarda invece la definizione di tangente, definita come il rapporto tra seno e coseno di un certo angolo x. Bisogna poi considerare che la tangente non esiste di qualsiasi angolo, poiché il denominatore (quindi il coseno della funzione), non può essere nullo, pertanto la tangente non esisterà in tutti quegli angoli multipli interi di 90°. Esiste poi anche la relazione reciproca della tangente, nota come la cotangente dell’angolo. E’ ovviamente il reciproco della tangente, ovvero il rapporto tra coseno e seno di un angolo. Analogamente a quanto precisato per la tangente, anche la cotangente non esiste in tutti i punti, ma non è definita in tutti i multipli di 180°, perché sono quegli angoli che hanno nullo il seno, e sappiamo bene che nelle frazioni non è possibile avere nullo il denominatore. Per seno e coseno, il dominio (cioè il campo di esistenza della funzione) è tutto l’insieme dei numeri reali, mentre per tangente e cotangente non è così e bisogna porre attenzione a dove esistono e a dove non esistono. Possiamo ragionare sul classico dominio della funzioni dove il denominatore non può mai essere nullo. Riporto la definizione di tangente e pongo il suo denominatore (il coseno) diverso da zero, come già spiegato sopra.

vediamo di seguito nella prossima slide quasi sono le regole e le proprietà per riuscire a disegnare correttamente nel piano cartesiano una qualsiasi funzione goniometrica. Si parte sempre da quella fondamentale e poi si procede per successive variazioni, che possono essere traslazioni (come nei primi due casi) o modifiche della forma della funzione, ma sempre rispettando delle regole. Alcune di queste variazioni non produrranno deformazioni, quindi la forma della funzione rimarrà inalterata, mentre altre produrranno anche una variazione del periodo della funzione, cioè ad esempio le funzioni che comprimono o dilatano orizzontalmente la funzione :
ciascuna delle sei funzioni vista in precedenza può subire alcune modificazioni, dovute a variazioni nel testo della sua funzione. Le modificazioni che possono essere apportate sono di quattro tipi : due sono definite come “rigide” perché non fanno cambiare la forma del grafico della funzione, ma ne traslano solo il grafico del piano cartesiano. Vengono preservate angoli, distanze, altezze, periodo, ma semplicemente c’è un movimento sul piano cartesiano. Le altre due sono invece di tipo plastico, cioè la funzione, o meglio dire il suo grafico, cambia forma e subisce due diverse alterazioni. Queste sono un po’ più complicate da disegnare a mano libera però non ci sono problemi usando un calcolatore online. Tutte queste quattro modificazioni, possono anche essere usate insieme e modificare notevolmente la forma standard del grafico che abbiamo visto. Per comodità, negli esempi successivi useremo il grafico del coseno, ma bisogna tenere conto che possiamo applicarle a qualsiasi delle sei funzioni viste. K è una qualsiasi costante numerica, espressa in radianti. Viene aggiunta sommandola al valore del coseno e non fa altro che spostare il grafico in verticale (se k è positivo verso l’alto, se k è negativo verso il basso). E’ una di quelle modificazioni che NON cambia la forma del grafico, quindi la distanza tra due punti analoghi è sempre la stessa. Nel secondo caso la k viene questa volta aggiunta all’argomento del coseno e ha la funzione di spostare il grafico a destra o a sinistra a seconda del suo valore. Se k è positivo, il grafico viene spostato a sinistra di k, se k è negativo viene spostato a destra di k. Anche qui è una modificazione rigida perchè non viene cambiata la forma del grafico.
Nelle due casistiche più in basso invece k è una costante numerica espressa in radianti e ha questa volta il compito di modificare plasticamente la funzione di partenza. In questo caso gli “zeri” della funzione rimangono tali (nel primo dei due casi della parte basse della slide), ma viene modificata l’altezza raggiunta. Se k è positivo, ciascun punto del grafico raggiunge un’altezza di k volte quella di partenza, dunque il grafico tirato gli estremi verticali di “k volte”. Se k è minore di 1, la funzione verrà verticalmente schiacciata e si avvicinerà tutti i propri punti all’asse x. Gli unici punti a restare tali sono gli zeri. Anche nella seconda modificazione della forma k è una costante numerica che può essere espressa sia in radianti che in numeri classici (meglio in radianti però quando si tratta della goniometria). Questa modificazione è plastica e ha il compito di dilatare la funzione orizzontalmente oppure di di comprimerla. Se k è maggiore di 1, la funzione viene compressa orizzontalmente e si fanno più frequenti i passaggi sugli zeri e ne cambia il periodo, diventando più piccolo. Aumenta quindi la frequenza visto che è il reciproco del periodo. Se invece k è minore di 1, la funzione viene dilatata, cioè tirata verso gli esterni e aumenta il suo periodo, diminuendo la sua frequenza.

un esempio da disegno da fare è il prossimo esercizio, l’esercizio 2 di pagina 749. Prima di tutto consideriamo che è molto difficile rappresentarla e valutarla nei suoi aspetti così com’è scritta ora. Possiamo quindi svolgere qualche calcolo e trovare un modo più semplice di scriverla per poi valutarla. Dopo un po’ di calcoli e l’applicazione di un po’ di proprietà goniometriche (già viste nelle precedenti slides), abbiamo ottenuto una funzione decisamente più semplice e comoda da rappresentare. Il periodo del coseno è generalmente di “2pigreco”, e in questo caso rimane invariato perché il numero quattro come coefficiente che ha davanti ha il solo effetto di quadruplicare verticalmente (quindi le ordinate) della funzione, ma non ne varia il periodo, che quindi rimane di 2pigreco anche per le modifiche successive. Noto poi che la funzione è pari perché è rimasta solo in coseno e il coseno è una funzione pari (e dunque ribaltabile e simmetrica rispetto all’asse y). Per disegnarla si parte disegnando il coseno che sappiamo bene com’è fatto. La prima modificazione da fare è moltiplicare tutti i punti per -4, quindi vanno ribaltati dalla parte opposta rispetto ad x e allungati verticalmente di quattro volte. Gli zeri rimangono tali perché -4*0=0. una volta ottenuta la blu, per la verde è sufficiente portare tutti i punti in alto di +1. Questa volta non cambia la forma ma avviene solo una traslazione verticale complessiva pari a 1 unità e così otteniamo la verde. Per la viola è la più complicata: la cosa migliore è rappresentare la secante classica (cioè l’inverso del coseno) e poi moltiplicare tutti i suoi punti per -1/4, cioè ribaltarli dalla parte opposta rispetto all’asse x e riducendoli verticalmente di 4 volte. Otteniamo così la viola.

il primo esercizio della successiva slide, esercizio 53 pagina 743, ci chiede di rappresentare una funzione ottenuta modificando la funzione iniziale del seno. La cosa più logica è partire infatti dal seno di x che sappiamo disegnarlo con immediatezza. Passiamo poi a disegnare il sin2x, cioè è una modificazione che dimezza il periodo e quindi tutti i punti vengono dimezzati orizzontalmente. E’ come se ci fosse una compressione orizzontale di metà lunghezza. Il valore assoluto mi lascia invariata la parte sopra l’asse x (quella già positiva), ma mi fa ribaltare la parte negativa al di sopra dell’asse x, usando proprio l’asse x come asse di simmetria, quindi avrò tutta la funzione sopra l’asse x. Infine l’ultima modificazione è una traslazione verticale verso l’alto di +1 per tutti i punti del grafico e quindi la funzione viene rigidamente traslata in alto di 1, mantenendo la sua forma precedente.

Nell’altro esercizio della slide, esercizio 118 pagina 772, viene chiesto di rappresentare una funzione che però viene fornita in una forma piuttosto complicata da trattare. Prima di tutto consideriamo che è molto difficile rappresentarla e valutarla nei suoi aspetti così com’è scritta ora. Possiamo quindi svolgere qualche calcolo e trovare un modo più semplice di riscriverla per poi valutarla. Il modo migliore di farlo è usare la formula di duplicazione del coseno. Possiamo scriverla in tre diversi modi e di caso in caso scegliamo quella più conveniente rispetto alla parte restante del testo che abbiamo.
cos (2x) = cos² x- sin² x = 1-2 sin² x = 2 cos² x – 1 sono queste tre le tre possibili formule da utilizzare.
conviene qua usare quella sottolineata in rosso perché posso così semplificare il coseno con quell’altro già presente al numeratore. A questo punto fare il disegno è molto semplice. Prima disegniamo il seno normale di x (classica funzione sinusoide) e poi il coefficiente -1/2 fa sì che la ribaltiamo simmetricamente rispetto all’asse x a causa del meno presente davanti al coefficiente e infine dimezziamo verticalmente le ordinate di tutti i punti a causa del coefficiente 1/2.