Iperbole

prima di iniziare con gli esercizi sull’iperbole conviene fare un rapido ripasso dei suoi principali elementi, anzitutto la distinzione dell’iperbole con i fuochi sull’asse x o con i fuochi sull’asse y. Questa differenza farà variare la posizione dei vertici reali da quelli immaginari. L’asse trasverso è il segmento che unisce i due vertici reali, mentre l’asse non trasverso unisce quelli immaginari. Fondamentale anche il calcolo degli asintoti per poter rappresentare l’iperbole con più precisione. Il concetto di “eccentricità” ci dice invece il grado di schiacciamento dell’iperbole, ma non è un valore fondamentale ai fini della rappresentazione grafica di questa conica.

Rappresenta le iperboli di equazioni x² – y² = 4 e x²-4y² = -16 e determina l’area del rettangolo che ha come vertici i loro punti di intersezione.
strategia : conviene disegnare separatamente le due iperboli delle quali è nota l’equazione e poi mettiamo a sistema le loro due equazioni per trovare le coordinate dei quattro punti di intersezione. Andremo poi a disegnare tutto sul piano cartesiano e, a seconda di come sono posizionati i quattro punti, andremo a decidere come calcolare l’area del rettangolo.

vogliamo disegnare il grafico della seguente iperbole della quale conosciamo l’equazione.
strategia : per prima cosa dividiamo tutto per 36 perchè vogliamo ottenerla in forma canonica.
ci siamo ridotti ad una forma simile a quella canonica. Visto che al secondo membro c’è +1, i fuochi di questa iperbole sono sull’asse x. Riconosco i valori di “a” e “b” e scrivo le coordinate dei suoi quattro vertici, di cui quelli su x sono reali e quelli su y sono immaginari.

nell’esercizio successivo (esercizio 67) vogliamo invece trovare l’equazione dell’iperbole note alcune sue condizioni :
Scrivi l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse x, asse non trasverso lungo 4 e distanza focale uguale a 12.
strategia : vista l’equazione canonica dell’iperbole, riusciamo a trovare la sua equazione se siamo in possesso di almeno due informazioni che la riguardano. In questo caso ci viene fornito il valore del suo asse non trasverso (cioè quello che collega i vertici immaginari) e la sua distanza focale, cioè la distanza tra i fuochi. Viene inoltre precisato che i fuochi sono sull’asse x e quindi l’equazione canonica prevede la presenza del +1 al secondo membro.

nell’ultimo esercizio della slide (esercizio 70) bisogna Determinare l’equazione dell’iperbole di eccentricità e = (3√5)/5 e che ha un vertice non reale nel punto (-2 ; 0).
strategia : qua le due informazioni che possediamo sono il valore dell’eccentricità e la posizione di un vertice non reale. Possiamo notare che il vertice non reale è sull’asse x, quindi vuol dire che i fuochi e i vertici reali sono sull’asse y. Quindi l’asse trasverso sarà verticale e l’asse non trasverso sarà orizzontale. Le due informazioni sono necessarie e sufficienti per trovare l’equazione dell’iperbole richiesta

esercizio con l’iperbole e i parametri :
Determina i valori di k affinché l’equazione data di seguito rappresenti :
a) un’iperbole;
b) un’iperbole con i fuochi sull’asse x;
c) un’iperbole che passa per il punto di coordinate (0; — √5);
d) un’iperbole con un fuoco di coordinate (2; 0).
strategia : esercizio con i parametri. Bisogna stabilire in base a quali valori del parametro “k” vengono soddisfatte le richieste del testo.
a) l’iperbole deve avere il segno negativo davanti alla y al quadrato, quindi inverto i segni davanti e sposto il segno al denominatore per non cambiare il testo dell’esercizio. In questo modo andrò a trovare il sotto caso in cui l’iperbole avrà i fuochi sull’asse delle x. In seguito sempre nel punto a) in questa configurazione ho sistemato i segni in modo che i fuochi
possano essere su y. La necessità era quella di avere un “-1” al secondo membro e poter poi procedere con i calcoli similmente a quanto fatto nel punto precedente
b) questo punto è già stato trovato nel punto precedente.
c) sostituisco il punto di coordinate date nell’equazione canonica dell’iperbole e risolvo rispetto alla costante “k”.
d) vista la posizione del fuoco, si capisce che l’iperbole in questione ha i fuochi sull’asse x, quindi alla fine la condizione che dovremo rispettare è quella dell’iperbole con i fuochi su x e utilizziamo quindi la configurazione dell’iperbole con il +1.

Trova le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equazione x² — y² = 9 nei suoi punti di intersezione con la retta x − 5 = 0. Delle due rette trovate indica con t quella che è tangente nel I quadrante. Trova i punti P e Q di intersezione di t con gli asintoti e calcola l’area del triangolo POQ.
strategia : mettiamo innanzitutto a sistema l’equazione della retta data con l’iperbole e troviamo i due punti di intersezione. A quel punto abbiamo due metodi per trovare le tangenti :
il metodo del fascio proprio di rette e il metodo della formula di sdoppiamento, con quest’ultimo preferibile perchè più rapido in questa circostanza (si può usare la formula di sdoppiamento solo nel caso in cui il punto in oggetto appartenga all’iperbole, e quindi sia ammessa una sola tangente).

nei due esercizi sottostanti viene invece richiesto di determinare l’equazione dell’iperbole note alcune sue condizioni. Nel primo dei due (esercizio 151) vengono fornite le posizioni dei fuochi e il valore dell’eccentricità, mentre nel secondo esercizio (numero 173) vengono fornite le equazioni dei due asintoti. Si parte quindi mettendo a sistema i due asintoti che, come sempre accade, si incontrano nel centro dell’iperbole (che in questo caso è traslata rispetto al centro).

l’esercizio successivo vede consiste invece nel disegnare la curva data e per farlo usiamo il metodo del completamento del quadrato. Bisogna utilizzare un po’ di esperienza e ci va una buona manualità nei calcoli per individuare i giusti completamenti, ma in questo modo si può risalire al centro e ai valori dei due semiassi per poterla disegnare senza eccessive difficoltà.

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