Trigonometria

le principali formule goniometriche applicate in un contesto geometrico ai triangoli, sia rettangoli che non. Risolvere un triangolo significa andare a determinarne la lunghezza dei lati e il valore degli angoli . Alcuni teoremi e formule sono applicabili limitatamente ai triangoli rettangoli, mentre alcune altre (ad esempio il teorema dei seni o quelli dei coseni, noto come “teorema di Carnot”) valide anche per triangoli qualsiasi. Scopriamo inoltre che possiamo calcolare l’area di un triangolo qualsiasi conoscendo anche solo la lunghezza dei lati e il valore dell’angolo tra di essi compreso. Iniziamo con un formulario completo sui triangoli rettangoli e sulle relazioni (dirette e inverse) che legano i lati e gli angoli :

segue un formulario per i triangoli in generale, quindi anche quelli non rettangoli.

Adesso vediamo una serie di esercizi con l’applicazione di queste formule e ragionamenti. Partiamo con qualcosa di semplice che si traduce in una mera applicazione delle formule.
Risolvere un triangolo vuol dire trovare tutti gli elementi mancanti, quindi nel caso specifico (esercizio 6) trovare i due lati “b” e “c” e il valore dell’angolo gamma. Per prima cosa ricordiamo che in un triangolo rettangolo i due angoli acuti sono tra loro complementari, quindi la loro somma è 90°. Bisogna poi ricordare che in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è dato dalla moltiplicazione tra la misura dell’ipotenusa e il coseno dell’angolo tra di essi compreso. Abbiamo infine moltissimi modi per trovare il cateto “b”, ad esempio usando il teorema di Pitagora, oppure usando una delle tre relazioni goniometriche. Possiamo quindi ricordare che in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dalla moltiplicazione tra la misura dell’ipotenusa e il seno dell’angolo opposto al cateto.

Nell’esercizio seguente (esercizio 7), possiamo partire come prima e ricordare che gli angoli acuti sono complementari, e quindi trovare subito il valore di beta. Si usa poi la formula inversa della trigonometria dei triangoli rettangoli per trovare la lunghezza dell’ipotenusa. L’ipotenusa in un triangolo rettangolo è uguale ad un cateto fratto il coseno dell’angolo compreso tra l’ipotenusa e il cateto cercato. Per l’altro cateto ci sono innumerevoli modi, ma per ripassare anche la formula mancante possiamo ricordare che in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dalla moltiplicazione dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al cateto che sto cercando.

Nell’ultimo esercizio della slide (esercizio 8) c’è un caso ancora leggermente diverso perchè conosciamo la lunghezza di due lati (l’ipotenusa e un cateto) e vogliamo sapere la lunghezza del terzo lato e l’apertura dei due angoli acuti. Il terzo lato potrebbe essere calcolato anche senza sapere gli angoli perchè potremmo usare il teorema di Pitagora, però essendo in trigonometria, possiamo usare le formule inverse per trovare gli angoli e poi usare le stesse formule dirette per trovare il cateto mancante.

Esercizio 23 : In un trapezio isoscele ABCD la base minore CD è lunga 10 cm e i lati obliqui BC e DA sono lunghi 8 cm. Sapendo che gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 53°, determina il perimetro e l’area del trapezio.
Consideriamo innanzitutto uno dei due triangoli rettangoli uguali, ad esempio CKB. Di questi triangoli rettangoli sappiamo l’ipotenusa e l’angolo adiacente, quindi tramite le formule trigonometriche possiamo sapere le misure dei due cateti. Trovati tutti i lati è sufficiente applicare la formula per l’area di un trapezio e sommare tutti i lati per il perimetro.

esercizio 24 : In un triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa BC è lunga 10 cm e sin ABC=4/5. Determina il perimetro e l’area del triangolo.
Avendo il seno di quell’angolo e l’ipotenusa possiamo calcolare la lunghezza del cateto AC. Sempre restando in goniometria/trigonometria posso usare la formula inversa della prima relazione fondamentale della goniometria per trovare il coseno dell’angolo beta (lo prendo positivo perchè è acuto e si nota chiaramente dal disegno).

Nell’ultimo esercizio della slide (esercizio 26). Nel triangolo rettangolo ABC il cateto AB è lungo 3 cm e tan ACB = 3. Determina il perimetro e l’area del triangolo.

le seguenti due slides trattano invece di problemi riguardanti triangoli non rettangoli. Le formule usate saranno quindi quelle per i triangoli in genere.
Nell’esercizio 94 bisogna trovare tutti gli elementi non ancora noti. Conosciamo due angoli e il lato tra di essi compreso. Dobbiamo trovare il terzo lato e l’apertura dell’angolo mancante. Si parte ricordando che in un triangolo qualsiasi la somma degli angoli interni è di 180 gradi e quindi trovo alfa. Possiamo poi applicare una delle possibili forme della formula del teorema dei seni e isolare prima il lato “b”, poi il lato “c” e l’esercizio è risolto. I risultati hanno senso perchè in un qualsiasi triangolo, opposto all’angolo più “chiuso” c’è sempre il lato più corto, come da disegno.

L’esercizio 95 è del tutto analogo al precedente, cambiano soltanto i numeri e si procede analogamente.

Dell’ultimo esercizio (esercizio numero 100) conosciamo invece le misure dei tre lati, ma non conosciamo nessuno degli angoli. Dobbiamo quindi utilizzare la formula inversa del teorema di Carnot (teorema dei coseni) e in particolar modo quella che mette come incognita l’angolo da trovare. Si può proseguire a piacimento, o con una nuova applicazione del teorema di Coseni, oppure anche quello dei seni, e qua ricade la nostra scelta. Infine tra gli innumerevoli modi per trovare l’ultimo angolo, è sufficiente ricordare che la somma dei tre angoli interni di un triangolo è di 180°, quindi troviamo quest’ultimo come differenza tra 180° e la somma dei due angoli che conosciamo.

nell’esercizio 101 conosciamo le misure dei tre lati e in più vediamo che il triangolo è isoscele, quindi sappiamo a priori che due lati saranno della stessa lunghezza e anche saranno uguali i due angoli adiacenti alla base.

nell’esercizio 106 con un po’ di occhio si può notare come questo triangolo sia un triangolo rettangolo con gli angoli da 30° e 60°. I dati a nostra disposizione per capirlo sono il fatto che in quel tipo di triangolo il cateto minore è sempre la metà dell’ipotenusa e l’angolo da 60° gradi è presente tra loro due, come nel nostro caso. Applico la formula diretta del teorema di Carnot per calcolare la lunghezza di b. Per l’ultimo angolo possiamo ricordare che in un triangolo rettangolo, i due angoli acuti sono complementari e quindi la loro somma è 90°, quindi facciamo l’angolo retto meno l’angolo che conosciamo.

nell’ultimo esercizio (esercizio 107) conosciamo due lati e l’angolo tra essi compreso. Il modo di procedere è applicare il teorema di Carnot per trovare il lato b. Usiamo il teorema dei seni per trovare il valore dell’angolo alfa. Scopriamo infine che questo triangolo è isoscele perchè i due angoli sono uguali. Ce ne saremmo potuti accorgere anche prima perchè il lato “b” era risultato della stessa lunghezza del lato “a”.

Le formule trigonometriche possono anche essere applicate a figure più complesse, nelle quali però figurano dei triangoli o che sono comunque scomponibili come triangoli. Ad esempio nell’esercizio 81 : Nel trapezio isoscele ABCD di base AB è AD = DC= 82 cm e tan A = 9/40. Determina perimetro e area del trapezio. [488 cm; 2916 cm²].
Invece nell’esercizio 83 bisogna trovare i lati del triangolo ABC in cui cosA = 4/5, cosB = 45° e l’altezza relativa ad AB è lunga 24 cm. [56 cm; 40 cm; 24√2 cm]. Conoscendo le regole dei triangoli, possiamo sapere che quando un triangolo ha un angolo retto e uno da 45° allora si tratta necessariamente di triangolo rettangolo isoscele perchè anche l’altro angolo sarà da 45° e quindi i cateti avranno la stessa lunghezza.

Nell’esercizio 92 c’è un trapezio rettangolo ABCD in cui l’angolo DCB è di 120° e il lato obliquo BC, che misura 61, è perpendicolare alla diagonale minore AC. Determina il perimetro e l’area del trapezio.
[Perimetro = 3(9+ √3)l ; area = 63/2√3 l²]

esercizio 88 : Calcola l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che il suo perimetro è 46 m e l’ampiezza di un angolo acuto è 34°. [85,99 m²]

Un altro esempio di formule trigonometriche applicate a figure che non sono inizialmente dei triangoli rettangoli è il seguente esercizio : esercizio 90 Nel trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo BC forma un golo di 30° con la base maggiore AB e la diagonale AC è perpendicolare a BC. Calcola il perimetro e l’area del trapezio, sapendo che la sua altezza è 10 cm.

dopo un breve ripasso delle principali formule trigonometriche, l’esercizio 69 riguarda un’applicazione della trigonometria al rettangolo. In un rettangolo la diagonale, che è lunga 4 cm, divide l’angolo retto in due angoli in modo che uno di essi è uguale a 20°. Determina perimetro e area del rettangolo. [10,4 cm; 5,3 cm²].
Nell’esercizio successivo, esercizio 71, sappiamo che in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono di 50°. Determina l’area, sapendo che la base del triangolo è 40 cm.
In basso troviamo infine l’esercizio 102 in cui gli angoli B e Ĉ del triangolo ABC sono acuti e sin Ĉ=4/5. Sapendo che la lunghezza del lato AB è 12 cm e quella dell’altezza AH è 8 cm, determina la lunghezza degli altri due lati e il valore di sin A. [AC= 10 cm; BC= (4√5+6) cm; sin A = (6+4√5)/15]

in quest’ultima slide ci sono applicazioni un po’ più complesse della trigonometria. Si tratta di risolvere un triangolo conoscendo una relazione che lega alcune sue lunghezze caratteristiche. Esercizio 37 : il triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa BC lunga 16 cm e l’angolo ABC = 60°. Trova un punto Q sull’altezza AH relativa all’ipotenusa in modo che sia: 4QB² + 1/6AC² = CQ². Suggerimento del testo : (Poni QBC = x.) [x = 45°]
Posto che la x ci viene indicata dal testo, dobbiamo riferire tutti i tre segmenti scritti qua sopra in nero, tutti in funzione dell’angolo x e delle lunghezze note. La prima cosa importante da sapere è che nei triangoli rettangoli con angoli da 60° e 90°, l’ipotenusa è sempre il doppio del cateto più corto. Quindi sappiamo già che il cateto AB è la metà dell’ipotenusa e quindi è 8 cm. Il cateto AC puoi trovarlo o con il teorema di Pitagora o applicando una qualsiasi delle formule di trigonometria per il triangolo rettangolo. Quando a fine esercizio pervengo ai risultati finali, scarto il negativo perchè le C.E. ci dicono che l’angolo deve essere compreso tra 0 e 60°, quindi sicuramente un angolo del primo quadrante (dove il coseno è sempre positivo, per questo scarto il negativo).

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