Scomposizioni polinomi

Sono tecniche algebriche di fondamentale importanza per riscrivere i polinomi in maniera più raccolta, così da facilitare ulteriori operazioni, ad esempio lo studio del segno o la determinazione del mcm e MCD. Le regole per scomporre un polinomio sono essenzialmente cinque, con alcune varianti a seconda dei testi da polinomi da scomporre. Le tecniche sono (come da prima slide qua sotto) : il raccoglimento a fattor comune, quello parziale, il riconoscimento di uno dei prodotti notevoli, il trinomio caratteristico di secondo grado (anche chiamato trinomio “speciale”) e la temutissima regola di Ruffini. Ogni tanto purtroppo bisogna rassegnarsi al fatto che, alcuni polinomi, non sono scomponibili, come la somma di due quadrati!

scomposizione di un polinomio :
ci sono cinque modi essenzialmente per scomporre un polinomio e si possono usare anche uno all’interno di un altro oppure in sequenza (cioè uno dopo l’altro). Scomporre un polinomio significa scriverlo in maniera più raccolta e funzionale rispetto alla forma data dal testo per agevolarci poi in caso di semplificazioni o calcoli di equazioni e disequazioni prodotto. Quindi dobbiamo cercare un metodo per scrivere il polinomio in una forma del tutto equivalente a quella data dal testo, ma in forma più “schematica”. I modi sono cinque e sono i seguenti:
– raccoglimento totale (a fattor comune)
– raccoglimento parziale
– riconoscimento di uno dei prodotti notevoli
– trinomio caratteristico di secondo grado (trinomio speciale di secondo grado), in due diverse versioni
– regola di Ruffini
si parte sempre dal primo modo e si valuta se è fattibile o no con quel modo lì. Se è possibile si utilizza e si valuta poi se quello che rimane dopo una prima scomposizione è ulteriormente scomponibile. Se il primo modo non ci dà risultati, passiamo al secondo e così via. La scomposizione termina nel momento in cui abbiamo raggiunto una forma più scomposta possibile, quindi quando non intravediamo più possibilità di proseguire e semplificare ulteriormente. La scelta di un metodo piuttosto che un altro dipende esclusivamente dal testo dell’esercizio. Nella prima slide scriviamo alcuni polinomi, li proviamo a scomporre giustificando cosa facciamo e perché lo facciamo:
6ax+2a-4a²x² osservo che tutti i monomi di questo polinomio hanno qualcosa in comune, perché tutti posseggono al loro interno un monomio del tipo “2a”, quindi faccio un raccoglimento a fattor totale raccogliendo da tutti un “2a”, perciò 2a(3x+1-2ax²) termina qua il raccoglimento perché il polinomio in parentesi è già ridotto ai minimi termini, quindi non posso più semplificarlo ulteriormente.
18a³y – 4a¹y³ + 10a³y² anche qui si può fare un raccoglimento a fattor totale. Tutti e tre i monomi che compongono quel polinomio hanno al loro interno un coefficiente 2, una “a” di terzo grado e la y di primo grado. Raccolgo quindi quel monomio in comune. Se vuoi controllare di aver fatto giusto è sufficiente moltiplicate la quantità raccolta per la parentesi e si deve poter tornare al testo iniziale.
Nel terzo esercizio il raccoglimento totale non puoi farlo perché ad esempio il primo e ultimo termine non hanno niente in comune, quindi non puoi raccoglierli. Possiamo però fare un raccoglimento a fattor parziale. Tra i primi due puoi raccogliere una x di grado due, tra gli altri due un numero 6. Le parentesi che usciranno dal raccoglimento dovranno essere uguali tra loro. Se così non fosse o hai sbagliato la scelta del raccoglimento e non si può fare così, o hai sbagliato i calcoli oppure non si può proprio fare il raccoglimento parziale. Ci sono sempre due scelte possibili ed entrambe portano allo stesso risultato. Nel quarto esercizio potresti anche raccogliere una x di primo grado tra il primo e il terzo termine e un +12 tra il secondo e il quarto termine. Ci porterebbe allo stesso risultato. Svolgo in entrambi i modi e noto che il risultato non dipende dalla scelta fatta. Nell’esercizio 54 può esserci la scelta di raccogliere un “3a” tra i primi due e un +b tra gli altri due oppure possiamo decidere di raccogliere un “b” tra il primo e il terzo e un “-2c” tra il secondo e il quarto.
Nell’ultimo esercizio tutti e tre i termini hanno in comune una “a” quindi parto con il raccogliere “a” a fattor comune (totale) in quadra vedo che le due quantità sottolineate in azzurro sono uguali, quindi faccio raccoglimento totale tra i primi due della parentesi quadra posso raccogliere un monomio “ab”.

in questa prossima slide vedremo invece un approfondimento della scomposizione mediante riconoscimento dei prodotti notevoli. Nel primo esercizio, esercizio 133, raccoglimenti non se ne possono fare di alcun tipo, quindi non è uno dei due possibili raccoglimenti. Noto però che ci sono due quadrati i perfetti perché il primo è il quadrato di 3x e il secondo è il quadrato di +1. Pertanto se quello in mezzo è il loro prodotto doppio, significa che questo è un quadrato del binomio e si può scomporre con questa formula: A² + B² + 2AB = (A+B). Nel successivi esercizi, esercizio 134 ed esercizio 135, erano entrambi due quadrati dei binomi. Dobbiamo notarlo negli esercizi quando riconosciamo due quadrati perfetti (cioè termini dei quali si può fare la radice quadrata) e il terzo termine che deve necessariamente essere presente è il loro prodotto doppio. Nell’esercizio 231, non abbiamo possibilità di raccoglimento totale perché alcuni termini non hanno niente in comune. Però notiamo la possibilità di fare un raccoglimento parziale (ad esempio tra il primo e il terzo un 2x di grado tre e un numero +1 tra il secondo e il quarto. La seconda parentesi non è più scomponibile perché non individuo niente che possa renderlo scomponibile, non c’è alcun modo per scomporre mentre la prima parentesi ci sono diversi modi. Si tratta di prodotti notevoli e si può scegliere tra la differenza di cubi o la differenza di quadrati, scelgo quest’ultima.
le due parentesi rosse qua a lato sono ancora scomponibili e sono rispettivamente una differenza di due cubi perfetti e una somma di due cubi perfetti. Si usano le formule in verde scritte sotto. Nell’esercizio 204 per scomporre questo polinomio si nota che nessuno dei prodotti notevoli precedentemente visti può fare al caso nostro, quindi notiamo che ci sono due cubi perfetti (il primo e l’ultimo termine) e due termini che possono rappresentare il triplo prodotto tra un quadrato di un termine e l’altro termine, quindi si può usare la formula del cubo del binomio. Possiamo accorgerci di questo prodotto notevole quando abbiamo in tutto quattro termini e due di questi sono due cubi perfetti (quantità delle quali si può fare la radice cubica). I termini posso anche essere scritti in ordine sparso e tocca a noi metterli in ordine.
Nell’esercizio 205 bisogna fare attenzione solo ai segni, perché quando nel cubo del binomio i quattro termini hanno i segni due negativi e due positivi può essere comunque un cubo del binomio in cui però bisogna stare attenti a mettere i segni opportuni, quindi sempre attenzione ai segni presenti. Nell’esercizio 183 quando abbiamo sei termini di cui tre sono dei quadrati perfetti e gli altri tre sono i tre doppi prodotti di un termine per l’altro siamo in presenza del prodotto notevole noto come quadrato del trinomio quadrato del trinomio. Occorre porre attenzione ai segni perché le tre radici quadrate le faccio dei tre termini elevati al quadrato (in questo caso i primi tre), ma i segni vengono messi opportunamente guardando i prodotti doppi. L’ultimo, quello tra “a” e “b” è positivo, quindi vuol dire che “a” e “b” li devo mettere nella scomposizione con lo stesso segno. Mentre visto che quelli che hanno “c” al loro interno sono negativi. significa che “c” ha segno diverso rispetto agli altri due.

quarto metodo per la scomposizione di un polinomio: il trinomio caratteristico (o speciale) di secondo grado. Questo metodo esiste in due diverse tipologie, iniziamo a vedere la prima. C’è un trinomio, quindi un polinomio composto da tre monomi di cui uno di secondo grado, uno di primo grado e un termine noto (cioè senza lettera). Li devo scrivere ordinatamente in grado decrescente, quindi da grado due a termine noto. In questa prima tipologia il termine di secondo grado ha coefficiente (cioè numero davanti al monomio) che è sempre 1 e può essere omesso. Noi per scomporlo andiamo a cercare due numeri che hanno come somma il coefficiente del termine centrale, quindi quello di primo grado e come prodotto il termine noto. La tecnica consigliata è quella di partire dal termine noto. Se è positivo significa che i numeri hanno lo stesso segno (ed è lo stesso che ha la loro somma) se invece il termine noto è negativo, i due numeri cercati hanno segno opposto. Si cercano poi due numeri che moltiplicati tra loro ti danno il termine noto, quindi si pensa alle tabelline e si cercano due numeri che nella loro tabellina hanno entrambe il termine noto, si sistemano i segni e si scrivono nelle parentesi tonde i due numeri trovati, come negli esempi seguenti. Nel primo caso cerco due numeri che sommati tra loro mi danno -6 e moltiplicati tra loro mi danno +5. Il prodotto è positivo, quindi i due numeri hanno lo stesso segno. La somma è negativa, quindi i due numeri sono entrambi negativi. il 5 compare solo nella tabellina del 5 e dell’1, quindi tenendo conto di quanto detto i due numeri sono -5 e -1. Se li sommi la loro somma -6, se li moltiplichi il loro prodotto è +5. Nel secondo caso cerchiamo due numeri che sommati tra loro ci danno il termine centrale, quindi +1. Moltiplicati ci danno il termine noto, quindi -12. Il loro prodotto è negativo, quindi i due numeri hanno segno opposto perché più per meno fa meno. La somma è positiva, quindi il maggiore dei due numeri è positivo per aver appunto la somma positiva. 12 è presente in diverse tabelline, ma gli unici che corrispondono alle richieste sono +4 e -3, che hanno come somma +1 e come prodotto -12. Nel terzo caso cerchiamo due numeri che sommati ci danno -2 e moltiplicati ci danno -8. Prodotto negativo, quindi numeri con segno opposto, somma è negativa, quindi il più grande dei due numeri è negativo. 8 è presente nella tabellina ad esempio dell’8 e dell’1 però la loro somma, tenendo conto di quanto detto con i segno dovrebbe essere -7, il che non va bene. Però -8 è anche nella tabellina del 2 e del 4, aggiustiamo i segni e i numeri sono proprio -4 e +2. Nel quarto caso i due numeri cercati hanno come somma +11 e come prodotto +10. Visto il segno del prodotto e della somma sono entrambi positivi, quindi l’unica scelta sensata è notare che sono +1 e +10.
c’è anche una versione di trinomio speciale di secondo grado che si usa quando davanti alla x di secondo grado non c’è il termine +1, ma c’è un altro termine. In questo caso si mettono sempre in ordine dal grado maggiore al grado minore e si cercano due numeri che hanno come somma il termine centrale e come prodotto la moltiplicazione tra primo termine (coefficiente della lettera di secondo grado) e di termine noto. Trovati i due numeri però, non si inseriscono nelle parentesi come fatto sopra, ma si scrivere il termine centrale come somma tra i due numeri trovati e si fa poi un raccoglimento a fattor parziale, come nei due esempi in fondo alla slide.

scomposizione mediante la regola di Ruffini
la regola di Ruffini è l’ultimo dei cinque modi in cui si può scomporre un polinomio. Solitamente si usa come ultima alternativa nel momento in cui gli altri quattro non hanno prodotto risultati efficaci. Per fare Ruffini bisogna prendere il termine noto (il termine che non contiene la lettera) e scrivere tutti i suoi divisori interi positivi e negativi. Poi si parte solitamente dal più piccolo e si iniziano a sostituire ad uno ad uno nel testo iniziale al posto della x cercando quello che si chiama lo “zero del polinomio”, cioè quel numero che ti annulla il polinomio. Una volta trovato, si mettono i coefficienti del polinomio (ordinati da grado maggiore a grado minore) in ordine nella tabella e lo zero del polinomio lo si mette in basso a sinistra. Se qualche termine del testo è mancante bisogna ricordare di mettere lo zero al suo posto. Si inizia a far scendere in basso il primo termine, lo si scrive in basso e si moltiplica per lo zero del polinomio, andando poi a riportarlo nella tabellina e sommarlo al suo relativo valore in alto (sarà più chiaro nell’esempio seguente). Si va avanti così finchè non si arriva al termine noto. A quel punto, se le cose sono state fatte bene, il resto deve essere zero e quindi l’ultima somma deve dare zero. I numeri ottenuti in basso sono i nuove coefficiente del nuovo polinomio scomposto che va tutto abbassato di un grado rispetto a quello iniziale. Tutta la parentesi del polinomio ridotto va poi moltiplicata per un polinomio in cui prima compare l’incognita e poi lo zero del polinomio cambiato di segno, come da esempio successivo. Ruffini può anche essere usato in sequenza più di una volta se si parte da un polinomio di grado maggiore o uguale di tre. Se non trovo lo zero del polinomio tra i divisori del termine noto si può anche fare la versione frazionaria di Ruffini, cioè provando come zero il rapporto tra i divisori del termine noto fratto i divisori del termine di grado massimo, presi sia con segno positivo che con segno negativo (ma è raro doverlo fare). In entrambi gli esempi proposti nella successiva slide si è fatto un Ruffini due volte per ciascun esempio, anche se dopo una prima iniziale scomposizione con Ruffini si sarebbe potuto fare il trinomio speciale (caratteristico) di secondo grado. Lo zero del polinomio va sempre ricercato con successivi tentativi iniziando a prendere i divisori interi positivi e negativi del termine noto. Nella tabella di Ruffini si somma algebricamente in verticale e si moltiplica in diagonale sempre per lo zero del polinomio. Quando manca un termine, come ad esempio nell’ultimo esempio manca il termine di grado due, dopo aver trovato lo zero del polinomio e costruito la tabella vado a inserire O come coefficiente della x di grado due.