con il termine “sistemi non lineari” si intende una vasta gamma di esercizi e di casistiche in cui ad essere messe a sistema sono delle equazioni in cui, almeno una delle due, non è di primo grado. Le procedure per risolvere questi esercizi sono di vario tipo e la scelta del metodo più opportuno dipende essenzialmente dal testo dell’esercizio. Nella maggior parte dei casi si consiglia di fare la sostituzione, ma questo avviene solo in quelle più semplici in cui una delle due equazioni è di primo grado. Si isola una delle due lettere e si sostituire nell’altra equazione (cioè in quella di secondo grado o di grado superiore al secondo). Si risolve poi l’equazione di grado superiore al primo che viene fuori dai calcoli e si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione di primo grado, per trovare il valore della seconda incognita. Un’altra possibile casistica è quando entrambe le equazioni sono di secondo grado o di grado superiore al secondo. Qui spesso il metodo migliore da applicare è la riduzione, in modo del tutto simile a come si faceva con i sistemi lineari. Altre ancora (come la prima nella prossima slide, è stata in effetti risolta così), utilizziamo la somma e il prodotto di due valori e la successiva formula di Waring, ma non era l’unico modo possibile. Questo esercizio (esercizio 177) si sarebbe anche potuto risolvere con la sostituzione. Nella seconda riga avremmo potuto trovare a piacere il valore di x o y (in funzione ovviamente dell’altra lettera) e avremmo potuto sostituirlo nella prima riga, andando poi a svolgere i calcoli su una semplice equazione di secondo grado). Questo metodo è stato proposto sempre nella stessa slide, per due volte, così da confermare i risultati ottenuti con due metodi diversi.
i sistemi di secondo grado possono anche essere letterali. Oltre che le due o più incognite, possono figurare anche dei parametri, quindi questo richiede poi una discussione finale. Il parametro è da considerarsi un numero variabile e si procede in modo analogo con le equazioni letterali (quindi fuori dai sistemi, prese singolarmente). Il valore del parametro viene algebricamente portato nel risultato finale e poi si effettua una discussione su di esso, a seconda dei calcoli e del risultato che è uscito. Bisogna prestare attenzione ai denominatori delle frazioni, alle semplificazioni che sono state fatte sul parametro e, in caso di equazione di secondo grado, anche al valore del delta. Nel caso dell’esercizio della prossima slide non ci sono stati problemi sul delta in quanto era rappresentato dallo sviluppo del quadrato del binomio, quindi essendo una quantità certamente non negativa, non si correva il rischio che l’equazione venisse impossibile per alcuni valori del parametro “a”. La discussione in fondo deve tenere conto di eventuali sistemi impossibili, sistemi indeterminati e sistemi determinati, specificando anche il numero eventuale delle soluzioni.
i sistemi non lineari possono poi anche avere un numero di equazioni maggiore di due. In questo caso le incognite devono essere pari al numero di equazioni presenti. Nel caso della prossima slide, nell’esercizio 273 sono presenti tre equazioni e tre incognite, di cui le prime due equazioni di secondo grado. In casi come questo bisognerà trovare un terno di numeri che soddisfa tutte e tre le equazioni. Il metodo migliore e consigliabile in questi casi è quello di optare per la sostituzione : tra le tre equazioni si sceglie quella di primo grado e si isola la lettera che ha come coefficiente l’1 (in questo modo non verranno delle frazioni da sostituire). Ho scelto quindi di trovare la x nella terza riga e di sostituirla in entrambe le altre equazioni, cioè in entrambe quelle di secondo grado. A quel punto mi focalizzo solo sulle prime due equazioni e lascio temporaneamente perdere la terza riga, ricopiandola semplicemente. Dopo aver svolto i calcoli decido di isolare la “z” sulla seconda riga e questa scelta si rivela efficace perchè posso semplificare molto la frazione ottenuta e ho già determinato il valore di z, cioè z=-1. In questo modo posso andare a sostituirla in entrambe le altre righe e il sistema è così risolto in pochi e semplici passaggi. E’ fondamentale la scelta del metodo migliore perché se si iniziano a prendere scelte inopportune e poco vantaggiose a livello strategico, ci si infila in dei calcoli tosti dai quali poi è difficile uscire ed estremamente facile commettere errori di calcolo. Se ci siamo accorti di non aver scelto il metodo migliore (capita spesso in fase di risoluzione di un’esercizio di questo tipo di accorgersi che non stiamo facendo le scelte giuste e stiamo complicando l’esercizio anziché risolverlo), possiamo ripartire dall’inizio e provare altre tecniche. Spesso in questa tipologia di esercizi esiste più di un modo per giungere al risultato e ci conviene sempre scegliere quello più rapido e con calcoli meno impegnativi possibile.
i sistemi lineari possono poi anche essere frazionari. In questo caso bisogna fare le condizioni di esistenza sul testo iniziale, andando ad escludere poi tutti quei valori numerici che mi rendono nulli i denominatori. Una volta fatte le C.E. possiamo andare a fare il minimo comune multiplo dopo aver eventualmente scomposto i denominatori scomponibili. Una volta eliminati i denominatori comuni e ottenute delle equazioni intere, si procede esattamente come spiegato nelle slide sopra e la scelta del metodo dipende esclusivamente dalla tipologia di equazioni che sono uscite dai calcoli. Quando si arriva al risultato finale bisogna confrontare i valori ottenuti con quelli delle condizioni di esistenza per decidere se sono accettabili o meno. Se nessuno dei valori ottenuti dai calcoli è accettabile il sistema sarà impossibile, altrimenti sarà un sistema determinato con una coppia o più coppie di risultati, come nell’esempio successivo, esercizio 40.
anche nella slide seguente ci sono esercizi misti e riassuntivi su un po’ tutte le casistiche analizzate prima singolarmente. Il primo esercizio, esercizio 210, è composto da un sistema tre equazioni in tre incognite, di cui solo la prima equazione di secondo grado, le altre due invece lineari di primo grado. Si è deciso di procedere tramite una doppia sostituzione.
Nell’esercizio 231 c’erano invece due equazioni in due incognite. La prima equazione frazionaria che, dopo C.E. e minimo comune multiplo si rivelerà essere di secondo grado. Anche qua si è proceduto tramite sostituzione. I calcoli sono piuttosto semplici e alla fine andranno a semplificarsi tutti i termini di secondo grado, fornendo quindi poi una sola coppia di risultati. L’ultimo esercizio, esercizio 285, è ancora più semplice perché una sola delle due equazioni è di secondo grado e sono entrambe intere. Anche qua abbiamo optato per una sostituzione e, riconoscendo in fase finale il quadrato del binomio, abbiamo come risultato una sola coppia di valori.
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