Dimostrazioni

le dimostrazioni sono la parte principale della geometria euclidea, argomento solitamente affrontato nel pentamestre dei licei. Le dimostrazioni si fanno partendo da una serie di ipotesi, cioè una serie di affermazioni fatte in modo esplicito dal testo. Quello che è richiesto di dimostrare si chiama tesi e la sua dimostrazione prevede l’utilizzo di teoremi, come ad esempio i tre teoremi sulla congruenza tra triangoli, oppure le proprietà di angoli, mediane, bisettrici, altezze e assi dei segmenti. Fondamentale anche la conoscenza dei punti notevoli di un triangolo (baricentro, incentro, circocentro e ortocentro) e dei criteri di parallelismo e perpendicolarità delle rette. Utilizzo anche dei teoremi di Euclide, quello di Pitagora e quello di Talete, con annessi criteri di similitudine tra due triangoli.

iniziamo a vedere una prima dimostrazione, articolata su più richieste. Le varie richieste si possono risolvere separatamente, ma conviene procedere in ordine perché è possibile che una richiesta successiva faccia utilizzo di quanto dimostrato in una richiesta precedente.
L’esercizio 172 : 172 Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, costruisci esternamente al triangolo i due triangoli equilateri ACD e BCE. Indicato con P il punto di intersezione di BD e di AE, dimostra, nell’ordine, che:
a. il triangolo ABD è congruente al triangolo ABE;
b. il triangolo ABP è isoscele;
c. il triangolo APC è congruente al triangolo BPC;
d. CP è la bisettrice di ACB.

si parte con il punto A, nel quale si esplicitano ipotesi e tesi. Le ipotesi saranno valide per tutto l’esercizio, mentre la tesi varia da punto a punto. ipotesi:
AC = BC
CAB=CBA
tutti gli angoli interni di un triangolo equilatero sono uguali e valgono 60°(quelli rossi nel disegno), DA=DC=AC=BC=BE=CE

a) tesi : ABD congruente AB. Dimostrazione a) : considero i triangoli ABD e ABE. Essi hanno :
-AB in comune
-AD=BE per ipotesi in seguito alla costruzione del triangolo equilatero
-DÂB = EBA perchè somme congruenti di angoli congruenti (gli angoli alla base del triangolo isoscele e gli angoli interni dei triangoli equilateri quindi per il primo criterio di congruenza (due lati e l’angolo tra essi compreso) triangoli ABD e ABE sono congruenti.

tesi b): il triangolo ABP è isoscele. dimostrazione: in base alla dimostrazione del punto precedente, abbiamo dimostrato che i triangoli ABD e ABE sono congruenti. Pertanto si può dire che i loro elementi corrispondenti siano congruenti. In questo caso guardiamo gli angoli interni a quei due triangoli e in particolare gli angoli BÂE e ABD (in azzurro nel disegno). Essi sono congruenti perché sono angoli corrispondenti di due triangoli congruenti. Questi due angoli sono però anche gli angoli alla base del triangolo ABP e quindi esso, avendo gli angoli alla base uguali, é certamente un triangolo isoscele.
tesi c) : il triangolo APC è congruente al triangolo BPC. dimostrazione c) : considero i triangoli APC e BPC. Essi hanno :
– AC=BC perché sono i lati obliqui del triangolo isoscele, dunque uguali
– il lato PC è in comune
– gli angoli PAC e PBC (quelli arancioni nel relativo disegno) sono tra loro congruenti perché sono entrambi differenza di due coppie di angoli congruenti (infatti sono entrambi dati dall’angolo verde meno l’angolo azzurro, quindi sono due differenze congruenti). Quindi per il primo criterio di congruenza (due lati e un angolo) questi due triangoli sono congruenti. Tuttavia questa dimostrazione poteva anche essere fatta in un altro modo. Osservando gli stessi triangoli APC e BPC potevo notare infatti che :
– AP è congruente a PB per dimostrazione precedente (sono entrambi lati obliqui di un triangolo già dimostrato isoscele, il triangolo APB).
-li angoli APC e BPC sono congruenti perchè sono opposti al vertice e quindi congruenti per definizione.
il lato CP è in comune.
Quindi per il primo criterio di congruenza (due lati e l’angolo tra essi compreso, i due triangoli APC e BPC sono congruenti.
tesi d): CP è bisettrice dell’angolo ACB. dimostrazione d): nel punto precedente si è dimostrato anche i triangoli APC e BPC sono congruenti. Quindi i loro angoli AĈP e BCP (quelli viola nel disegno) sono tra loro congruenti perché sono due parti corrispondenti di triangoli congruenti. Quindi visto che il segmento CP divide l’angolo AĈB in due parti uguali, è sicuramente la bisettrice di quell’angolo.

nella prossima slide si inizia con la dimostrazione dell’esercizio 67 : Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga AB, dalla parte di A, di un segmento AP e, dal- la parte di B, di un segmento BQ, tale che AP BQ. Prolunga poi AC, dalla parte di A, di un segmento AR, e BC, dalla parte di B, di un segmento BS, in modo che ARBS. Dimostra che il triangolo PRC è congruente al triangolo QSC. Come sempre scriviamo prima le ipotesi, poi la tesi e infine eseguiamo la dimostrazione. ipotesi:
AC = BC
AP = BQ
AR = BS
CÂB = CBA
tesi : PRC = QSC
dimostrazione : PÂR = CÂB perché angoli opposti al vertice. Analogamente, CBA = QBS per analoga ragione. Per la proprietà transitiva, se CÂB = CBA (per ipotesi), allora PÂR = QBS perché entrambi sono opposti gli opposti al vertice di due angoli congruenti. Considero i triangoli PÂR e QBS. Essi hanno :
– AP=BQ per ipotesi
– ARBS per ipotesi
– PÂR = QBS per precedente dimostrazione.
Quindi per il primo criterio di congruenza essi sono congruenti. In particolare PR=QS perché lati corrispondenti di triangoli congruenti. Per la stessa ragione, ARP = BSQ perché angoli corrispondenti di triangoli congruenti. Inoltre CR = AC + AR e CS = BC + BS. Pertanto, CR congruente CS perché entrambi somma di due coppie lati tra loro congruenti. Considero ora i triangoli PRC e QSC. Essi hanno :
– CR=CS per precedente osservazione
– CRP = CSQ per precedente dimostrazione
– PR = QS per precedente dimostrazione.
Quindi per il primo criterio di congruenza (due coppie di lati congruenti e l’angolo tra di essi compreso), essi sono congruenti.

altre due dimostrazioni le possiamo trovare nella prossima slide, partendo dalla dimostrazione dell’esercizio 43 :
Due triangoli ABC e A’B’C’ sono tali che AB = A’B’, BC B’C’ e ABC A’B’C’. Due punti P e P’, appartenenti rispettivamente a BC e a B’C’ sono tali che PAC P’A’C’. Dimostra che i due triangoli ABP e A’B’P’ sono congruenti. Al solito si illustrano ipotesi e tesi e si procede con la dimostrazione.
ipotesi:
AB = A’B’
BC= B’C’
ABC = A’B’C’
PÂC = P’Â’C’
tesi:
ABP = A’B’P’
dimostrazione:
considero i triangolo ABC e A’B’C’. Essi hanno :
– AB = A’B’ per ipotesi
– BC= B’C’ per ipotesi
– ABC = A’B’C’ per ipotesi
Quindi per il primo criterio di congruenza (due coppie di lati e l’angolo tra di essi compreso), essi sono congruenti. In particolare, BẬC = B’Â’C’ perché angoli corrispondenti di triangoli congruenti. Inoltre, BẤP = BÂC – PÂC e analogamente B’Â’P’ = B’Â’C’ – P’Â’C’. Ne segue quindi che BẤP = B’Â’P’ perché entrambi differenze di due coppie di angoli congruenti. Considero ora i triangoli BAP e B’A’P’. Essi hanno :
– AB = A’B’ per ipotesi
– ABC = A’B’C’ per ipotesi
– BAP = B’Â’P’ per precedente dimostrazione
Quindi per il secondo criterio di congruenza (due coppie di angoli e il lato tra di essi compreso), essi sono congruenti.

Nel successivo esercizio 66 il testo ci dice che “dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga AB dalla parte di A, di un segmento AP e, dalla parte di B di un segmento BQ, in modo che AP = BQ. Dimostra che il triangolo PQC è isoscele. Al solito si illustrano ipotesi e tesi e si procede con la dimostrazione.
ipotesi:
AC = BC
CÂB = CBA
AP = BQ
tesi :
PQC è isoscele
dimostrazione: considero che però AC = BC per ipotesi e AP = BQ per ipotesi, quindi CP = CQ perché entrambi somme di due coppie di lati congruenti. Quindi il triangolo PQC ha i due lati PC e QC congruenti e quindi è un triangolo isoscele.

segue adesso un po’ di teoria di geometria euclidea e l’analisi e il commento di alcune situazioni che si possono trovare negli esercizi e nelle dimostrazioni. Ne è un esempio il postulato di Euclide : se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti. E’ il criterio in cui viene definito come verrà sicuramente a formarsi un triangolo se dallo stesso lato due rette incidenti una terza retta formano due qualsiasi angoli acuti. In un triangolo la somma dei tre angoli interni vale sempre 180°, quindi i tre angoli sono tra loro supplementari. Negli altri poligoni c’è una formula con la quale si può stabilire quanto vale la somma degli angoli interni, ed è la seguente: Somma angoli interni = 180° * (n-2), dove “n” è il numero dei lati di quel poligono. Affrontiamo ora lo studio dei poligoni particolari : un rettangolo è un particolari quadrilatero (cioè un poligono con 4 lati e quattro angoli) che ha come caratteristica quella di avere tutti e quattro gli angoli retti e i lati opposti di uguale lunghezza. Le diagonali si incontrano sempre nel loro punto medio e dividono il rettangolo in quattro triangoli, uguali a coppie opposte. Il quadrato è un particolare tipo di rettangolo in cui tutti i lati hanno la stessa lunghezza e quindi è un quadrato. I triangoli che si formano con le due diagonali di un quadrato sono tutti triangoli uguali. Dato il lato di un quadrato, si può trovare la lunghezza della diagonale moltiplicando la misura del lato per la radice di 2. Il rombo è un quadrilatero avente tutti e quattro i lati della stessa lunghezza e gli angoli opposti uguali. Come tutti i quadrilateri ha la somma degli angoli interni che misura 360° gradi e le due diagonali sono sempre perpendicolari tra loro. L’area è data dal semiprodotto delle due diagonali, mentre il perimetro è la somma dei quattro lati che, essendo uguali è il lato moltiplicato per 4. Parallelogramma: è un poligono di quattro lati e quattro angoli (cioè un quadrilatero) che ha i lati opposti paralleli e congruenti (cioè lunghi uguali). Gli angoli opposti sono uguali, mentre gli angoli adiacenti sono supplementari a coppie. Le diagonali non hanno la stessa lunghezza, ma si incontrano nel loro punto medio. il quadrato è un poligono (un quadrilatero in particolare) avente tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli retti. Le diagonali hanno la stessa lunghezza, si incontrano nei rispettivi punti medi e danno origine a quattro angoli retti la cui somma è 360°. (Come tutti i quadrilateri ha la somma degli angoli interni che è 360°. E’ sia inscrivibile che circoscrivibile ad una circonferenza e i due centri corrispondono).