parte più applicativa e numerica rispetto a quella delle dimostrazioni. Nei seguenti esercizi si fa uso delle proprietà dei triangoli, in particolare di quelli rettangoli (teoremi di Pitagora ed Euclide) e quelli dei triangoli isosceli ed equilateri. Vengono approfonditi i criteri di inscrivibilità e circoscrivibilità dei quadrilateri rispetto alle circonferenze. C’è il calcolo delle aree e dei perimetri delle principali figure piane e l’utilizzo di semplici equazioni di primo grado per risolvere alcuni esercizi.
Conviene iniziare con un ripasso dei teoremi di Pitagora e di Euclide.
tutti e due questi teoremi (in realtà sono tre, perché quelli di Euclide sono due diversi) si possono applicare SOLTANTO ai triangoli rettangoli, ovvero quei triangoli che hanno un angolo retto e gli altri due angoli sono acuti e complementari (cioè la loro somma vale 90°). Entrambi i teoremi di Euclide ci dicono qualcosa sulle proporzioni che i cateti devono avere tra di loro, rispetto all’ipotenusa e rispetto all’altezza di quest’ultima. I teoremi di Euclide riguardano sempre i triangoli rettangoli, ma ed è fondamentale disegnare l’altezza relativa all’ipotenusa. Questa altezza divide l’ipotenusa stessa in due parti che si chiamano le PROIEZIONI dei CATETI sull’ipotenusa e sono i principali componenti dei teoremi di Euclide. Il primo teorema di Euclide dice che : “in una proporzione, un cateto è il medio proporzionale tra la proiezione di un cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa”. Secondo teorema di Euclide : “in una proporzione, l’altezza è il medio proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa”. Conviene anche ricordare che in un triangolo qualsiasi c’è una diretta proporzionalità tra l’apertura di un angolo e la lunghezza del lato ad esso opposto. Opposto all’angolo più “aperto” (cioè più ampio), c’è sempre il lato più lungo. Questo spiega perché in un triangolo rettangolo di fronte all’angolo retto (che è certamente quello con apertura maggiore), c’è sempre il lato più lungo, che viene chiamato ipotenusa.
Il teorema di Pitagora ci dice invece che il quadrato costruito sull’ipotenusa è congruente alla somma dei due quadrati costruiti sui cateti. E’ una relazione molto utile in questa fase della geometria e sarà un concetto richiamato anche nello studio della trigonometria.
nel seguente esercizio 10, si deve calcolare il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un suo cateto misura 15 cm e che la sua ipotenusa è di 25 cm. Si applica il teorema di Pitagora al triangolo ABH dove si vuole ricavare il cateto AC e quindi si usa il teorema nella sua formula inversa.
Nell’esercizio 11 invece dobbiamo calcolare il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa misurano rispettivamente 20cm e 16 cm. Procediamo qua invece applicando il teorema di Euclide in cui l’incognita è l’ipotenusa BC. Successivamente si può fare il teorema di Pitagora in cui come incognita figura il cateto AC. A quel punto abbiamo tutti i dati necessari per poter calcolare il perimetro.
Nell’esercizio 12, si richiede di calcolare il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 175 cm e di 112 cm. Trovo innanzitutto la lunghezza dell’altra proiezione e poi si applicando in sequenza : una prima volta il teorema di Euclide e per due volte il teorema di Pitagora a due diversi triangoli per ottenere tutti i dati che mi servono. Infine si può agevoltmente calcolare l’area e il perimetro del triangolo.
Nel seguente esercizio 7 abbiamo che : sia ABC un triangolo equilatero il cui lato misura 2a e M il punto medio di AB. Considera un punto P sul lato BC e indica con H la sua proiezione su AC. Determina P in modo che l’area del triangolo PHC sia 4/3 dell’area del triangolo PMB.
Chiamo x il lato CP ed esprimo tutte le grandezze che posso in funzione di x e dei termini che conosco. Ricordo poi che tutti gli angoli interni di un triangolo equilatero, misurano tutti 60°. L’area di un qualsiasi triangolo si può ottenere come semiprodotto tra due qualsiasi dei lati di un triangolo moltiplicati per il seno dell’angolo tra di essi compreso, ed è una delle principali formula della trigonometria. Ricordo poi ancora che il triangolo PHC ha gli angoli di 30°,60°,90° e quindi valgono le sue caratteristiche peculiari, cioè il cateto minore CH è la metà dell’ipotenusa PC.
Nell’esercizio 8 , si considera un triangolo rettangolo isoscele ABC, di ipotenusa AB. Sapendo che i cateti misurano a, determina:
a. il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo;
b. il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.
l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele sarebbe la diagonale di un quadrato avente come lato uno dei due lati obliqui del triangolo in questione (cioè i cateti). Il raggio della circonferenza inscritta ad un triangolo qualsiasi è dato dalla formula r = 2*area /perimetro. Ovvero, il raggio della circonferenza inscritta si calcola moltiplicando l’area del triangolo per due e dividendo tutto per il perimetro. Sono tutti dati che noi possiamo conoscere del triangolo ABC, quindi applico la formula.
Come si fa a stabilire se un quadrilatero sia o meno inscrivibile e/o circoscrivibile ad una circonferenza?
alcuni quadrilateri si possono circoscrivere ad una circonferenza (quindi il quadrilatero si trova all’esterno e i suoi lati sono tutti tangenti alla circonferenza interna), altri si possono inscrivere in una circonferenza (quindi il quadrilatero si trova all’interno della circonferenza e tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza). I criteri per capire se un quadrilatero è o meno inscrivibile/circoscrivibile ad una circonferenza sono l’osservazione dei suoi lati e dei suoi angoli opposti.
un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se è uguale la somma dei suoi angoli opposti, cioè se ha gli angoli opposti supplementari. Un quadrilatero è invece circoscrivibile ad una circonferenza se è uguale la somma dei suoi lati opposti. Nel primo esercizio della prossima slide sappiamo che un quadrilatero che è circoscritto a una circonferenza e quindi possiamo affermare che la somma dei lati opposti è uguale. Fisso l’incognita e risolvo la semplice equazione che ne deriva. Anche nell’ultimo esercizio della slide si procede in modo del tutto analogo al precedente.
Anche nel primo esercizio di questa prossima slide non ci sono differenze rilevanti con la precedente. Invece in quello successivo (esercizio 48), il trapezio ha la base che coincide con il diametro della semicirconferenza. Il fatto che gli angoli alla base siano uguali ci dice che il trapezio è isoscele. Sappiamo inoltre che gli angoli sono di 60° e questa è un’informazione fondamentale perché i triangoli rettangoli con angoli di 30°,60°,90° hanno proprietà particolari (AKD e BHC). In questi triangoli infatti il cateto minore (AK e HB dei rispettivi triangoli) sono la metà dell’ipotenusa (rispettivamente AD e CB). Tirando il segmento OC noto che è un raggio della circonferenza e quindi è lungo “r”. Quindi il
triangolo OCB è isoscele perché anche OB vale “r”. I triangoli isosceli hanno gli angoli alla base uguali per definizione e quindi anche l’angolo BCO vale 60°. Quindi OCH vale 30° perchè sono complementari (cioè la loro somma è 90°). Se pensiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo sono 180°, allora anche COB vale 60°, quindi OCB è triangolo isoscele e OH=OB (il disegno non è preciso perchè è stato fatto a priori della risoluzione e non si può dunque apprezzare questa uguaglianza da un punto di vista grafico).
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