Equazioni irrazionali

le equazioni irrazionali sono una particolare tipologia di equazione in cui l’incognita figura almeno in un’occasione sotto il segno di radice. La risoluzione non è uguale per tutti gli esercizi perché l’approccio e le operazioni da svolgere dipendono dal testo dell’esercizio e dal fatto che ci sia solo una oppure più radici, e se l’indice della radice è pari o dispari. In ogni caso, in presenza di radici con indice pari, bisogna porre il radicando maggiore o uguale di zero perchè sappiamo che i radicandi delle radici con indice pari devono per forza essere non negativi. Se i radicandi di radici con indice pari sono più di uno, li devo porre tutti maggiori o uguali a zero e metterli a sistema tra loro, prendendo poi l’intersezione delle soluzioni. In alcune tipologie di esercizi è poi necessario anche porre le C.A. cioè le condizioni di accettabilità che sono delle restrizioni che poniamo in base al segno che può o non può avere un certo polinomio. Questo perché, in fase iniziale o in fase successiva di calcolo, ci potremmo trovare nella condizione in cui a sinistra dell’uguale abbiamo isolato una radice con indice pari (quindi senz’altro una quantità certamente positiva), mentre a destra anche quel monomio o polinomio dovrà essere maggiore o uguale a zero. Questa necessità nasce dal fatto che una quantità sicuramente positiva (la radice) non potrà certo essere uguale a una quantità negativa. Non in tutti gli esercizi ci si troverà in questa situazione e, in alcuni casi si fa all’inizio dell’esercizio, in altri si fa in corso di svolgimento. Le eventuali C.A. vanno poi messe a sistema con le C.E. fatte inizialmente sui radicandi. Quando ottengo uno o più risultati alla fine bisogna compararli con il sistema ottenuto dalle C.E. e dalle eventuali C.A. e stabilire sono o meno accettabili quei risultati ottenuti.

Nel primo esercizio della slide, esercizio 327, c’è una classica equazione irrazionale. Le equazioni irrazionali sono quelle equazioni in cui la x compare anche sotto il segno di radice (a prescindere dall’indice). Per la prima cosa, in questo tipo iniziale e abbastanza semplice, bisogna isolare la radice dai termini polinomiali e bisogna mettere a sistema le condizioni di esistenza (C.E.) con le condizioni di accettabilità (C.A.). Le C.A. vanno poste in base alla concordanza del segno, cioè sapendo che il primo membro dell’equazione è positivo perché è solo composto da una radice, anche il secondo membro deve essere positivo, altrimenti saremmo in una condizione di avere una quantità positiva uguale a una quantità negativa, il che è impossibile. Le metto a sistema e trovo l’intersezione delle soluzioni. Fatte le condizioni, torno sul testo e lo risolvo. Elevo entrambi i membri alla seconda e risolvo l’equazione di secondo grado rimanente con il trinomio caratteristico di secondo grado. Ci sono due risultati di cui uno accettabile e uno no secondo le C.E. fatte inizialmente.
nel successivo esercizio della slide, esercizio 320 analogamente a prima, andiamo a porre a
sistema le C.E. e le C.A. per il campo di esistenza e per la concordanza del segno, come ampiamente disquisito in precedenza. Fatte le condizioni, torno sul testo e lo risolvo. Elevo entrambi i membri alla seconda, svolgo i calcoli portando tutto dallo stesso lato e sommando i termini simili e risolvo l’equazione di secondo grado rimanente con il trinomio caratteristico di secondo grado. Ci sono due risultati e sono entrambi accettabili se confrontati con le C.E.
Nell’ultimo esercizio della slide, esercizio 398, c’è un’equazione irrazionale composta da quattro diverse radici, tutte con indice pari. Non ci sono C.A. da fare, ma ci sono quattro C.E. da mettere a sistema perché tutti e quattro i radicandi devono essere maggiori o uguali di zero. Prendo poi come di consueto l’intersezione delle soluzioni. Prima di elevare al quadrato tutti e due i membri, dobbiamo assicurarci che tutti i segni davanti alle radici siano positivi quindi bisogna spostare a destra gli ultimi due, perché allo stato attuale sono negativi e abbiamo bisogno di coefficienti positivi. Ciò fatto elevo entrambi i membri al quadrato e mi ricordo che devo fare anche tutti i doppi prodotti, quindi verrà un calcolo abbastanza lungo e bisogna fare attenzione. Tutti i termini esterni rispetto alle radici si semplificano e posso semplificare anche i coefficienti due davanti alle radici. A questo punto da entrambe le parti ho delle radici e posso semplicemente elevare alla seconda, semplificando le radici e passando a lavorare con i radicandi. L’equazione ottenuta è di secondo grado, completa, quindi posso applicare la formula risolutiva e ottengo due soluzioni distinte, entrambi accettabili secondo le C.E.

vediamo in questa slide l’esercizio 740 di pagina 61. Si tratta di un’ equazione irrazionale composta da tre radici, tutte con indice due. Si parte dunque facendo le condizioni di esistenza di tutte e tre le radici perché il loro indice è pari, quindi i tre radicandi vanno posti maggiori o uguali a zero e si prendere l’intersezione delle soluzioni (cioè gli intervalli del grafico dove tutte le soluzioni sono verificate). Ciò fatto, accantoniamo un attimo le condizioni di esistenza e ci ricorderemo poi che queste andranno riprese più avanti. Dovremo infatti accertarci che le soluzioni ottenute alla fine rientrino all’interno di questo intervallo, altrimenti non saranno accettabili. Bisogna adesso elevare al quadrato entrambi i membri ma è fondamentale spostare le radici in modo che i coefficienti davanti alla radici siano sempre positivi, quindi la terza radice devo spostarla al primo membro per averla positiva. Posso elevare a potenza solo dopo aver fatto questi opportuni spostamenti, e mi devo ricordare di fare anche il prodotto doppio a sinistra perché si tratta del quadrato di un binomio. Dopo aver svolto alcuni semplici calcoli e semplificazioni, isolo la radice a sinistra e il polinomio restante a destra e noto che bisogna adesso fare delle C.A. cioè delle ulteriori condizioni, questa volta di accettabilità. Il ragionamento alla base di queste C.A. è che al primo membro ho sicuramente una quantità positiva perché è sotto radice, quindi anche al secondo membro dovrà esserci una quantità positiva visto che sono in un’uguaglianza e non posso avere una quantità positiva uguale a una negativa. Quindi dovrei imporre che x+6>0 e che quindi x>-6, e questo va messo a sistema con le C.E. fatte prima. Tuttavia in questo caso specifico, queste C.A. non mi andrebbero ad aggiungere ulteriori restrizioni alle C.E. già fatte in precedenza, perché le C.E. erano più “ristrettive” di queste C.A., dunque in questo caso specifico posso omettere questa cosa, ma bisogna sempre controllare questo tipo di situazioni. Se così non fosse stato avrei dovuto mettere a sistema le C.E. fatte prima con le C.A. aggiunte adesso e prendere l’intersezione delle soluzioni. Si eleva poi nuovamente al quadrato entrambi i membri e si svolgono i calcoli, arrivano a dover risolvere un’equazione di secondo grado spuria. I due risultati rientrano quindi nell’intervallo delle C.E. e quindi sono entrambi accettabili.

anche nel prossimo esercizio, l’esercizio 308 di pagina 490, abbiamo una disequazione irrazionale composta da quattro radici diverse. In realtà raccogliendo e portando fuori da due di esse, si può notare come vengano due coppie di radici uguali, quindi possiamo sommarle (cioè sommare i loro coefficienti). A questo punto possiamo fare le condizioni di esistenza e prendere l’intervallo comune, quindi andranno bene i valori positivi o nulli. Si elevano al quadrato entrambi i membri, si svolgono alcuni semplici calcoli e viene una semplice equazione di primo grado, l’unico risultato che esce dal calcolo è accettabile.
nell’esercizio successivo, esercizio 316 di pagina 490, le radici sono cubiche e l’equazione è frazionaria. Trattandosi di radici cubiche, quindi con indici dispari, non occorre fare condizioni di esistenza a causa dei radicandi perchè sono ammissibili anche quelli negativi. Le condizioni di esistenza vanno invece fatte a causa della presenza di denominatori che non potranno essere nulli. Poniamo quindi i denominatori diversi da zero e significa porre i radicandi diversi da zero. I valori da escludere dalle eventuali soluzioni sono pertanto x=0 e x=-2, mentre tutti gli altri valori saranno accettabili. Eleviamo al cubo entrambi i membri, risolviamo i semplici calcoli e otteniamo una disequazione di secondo grado completa. Applichiamo la formula risolutiva (abbiamo usato la formula ridotta) e i due risultati ottenuti sono entrambi accettabili.

Il terzo e ultimo esercizio della slide, esercizio 332 di pagina 491, ha una struttura iniziale piuttosto complicata. Bisogna innanzitutto porre le tre condizioni in cui i radicandi sono maggiori o uguali a zero e mettere a sistema le tre condizioni, prendendone l’intersezione. Ciò fatto andiamo a razionalizzare il primo denominatore, per ottenere una forma più facile da calcolare. In effetti si noti come il primo denominatore si semplifica maniera estrema dopo la razionalizzazione. In seguito dopo qualche breve calcolo si isola la radice da una parte e il polinomio dall’altra. Siamo quindi nelle condizioni di fare le C.A. (come spiegato poco sopra in un’altra slide). Tuttavia anche qui, come prima, le C.A. non mi aggiungo nulla alla condizione che già avevo posto prima, quindi non serve scriverne di nuove e possiamo tenere le C.E. come intervallo per controllare poi i risultati finali. Dopo aver elevato alla seconda un’altra volta possiamo notare che viene un’equazione di primo grado dopo aver semplificato i termini di secondo grado e l’unico risultato che esce dal calcolo è accettabile. In questa tipologia di esercizi è essenziale partire nel modo giusto con la risoluzione perchè se non si fanno scelte opportune di calcolo iniziale ci si va ad imballare in calcoli molto lunghi e piuttosto complicati.

L’esercizio 716 di pagina 60 contiene un’equazione radicale in cui compare una radice cubica. Come prima cosa come sempre osservo le C.E. e che quindi la x non potrà essere nulla perché si trova al denominatore di una frazione. Non c’è bisogno di impostare C.E. per la radice poiché il suo indice è tre, cioè dispari e quindi ammette anche radicandi negativi. Fatto ciò si inizia a risolvere l’equazione vera e propria : faccio il minimo come multiplo e mi libero così dalle frazioni. Elevo poi entrambi i membri al cubo per togliere la radice dopo però aver isolato a sinistra la radice e a destra il polinomio. Elevando al cubo mi devo ricordare di fare correttamente il cubo del binomio e prestare attenzione a mettere bene i segni del calcolo. Dopo averli eseguiti viene una trinomio di secondo grado, completo. Anziché fare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete posso riconoscere che siamo in presenza dello sviluppo del quadrato del binomio, quindi lo riconosco, lo scompongo e trovo rapidamente che l’unica soluzione è x=1, soluzione accettabile rispetto alle C.E.

anche nella prossima slide ci sono da risolvere due equazioni irrazionali. Nel primo esercizio, esercizio 336 di pagina 491 Prima eseguiamo una razionalizzazione per togliere il denominatore e, dopo aver raccolto e portato fuori dalla radice i quadrati perfetti, importo le C.E. Faccio caso al fatto che le tre radici sono tutte uguali, quindi basta imporre una volta sola la condizione dei radicandi maggiori o uguali a zero. L’altra condizione scritta deriva invece dal denominatore che, in quanto tale, non può essere nullo. Si sviluppano poi i calcoli con minimo comune multiplo e successive moltiplicazioni. Si arriva poi ad un certo punto in cui si isola la radice a sinistra e tutto il resto del polinomio a destra. In questo momento bisogna applicare delle C.A., cioè le condizioni di accettabilità : come spiegato prima sono delle ulteriori condizioni che vanno poste per la concordanza del segno. Visto a che a sinistra ho una radice (ed è una quantità certamente non negativa), devo porre la disequazione per cui anche sulla destra dovrò avere una quantità non negativa, per evitare la condizioni in cui una quantità positiva sarebbe uguale ad una negativa, il che è palesemente impossibile. Fatte le C.A. bisogna mettere a sistema con le C.E. fatte in precedenza e notiamo che c’è un nuovo restringimento delle condizioni. Prendiamo quindi il risultato di questo sistema come nuove condizioni da utilizzare alla fine. Eleviamo tutto al quadrato, svolgiamo alcuni semplici calcoli e otteniamo un’equazione di secondo grado, spuria. La risolviamo come al solito, raccogliendo a fattor comune e impostiamo poi la legge di annullamento del prodotto. Ogni elemento che forma la moltiplicazione viene posto singolarmente uguale a zero, otteniamo due diverse soluzioni delle quali però solo una è accettabile.

Nell’esercizio seguente, esercizio 323 di pagina 490, si opera similmente a quanto appena fatto. Si pongono a sistema le due condizioni per la C.E., entrambe relative ai radicandi delle radici (visto che hanno entrambe indice pari). Si pone attenzione che la radice al denominatore viene posto il radicando strettamente maggiore di zero perché oltre a essere un radicale è anche al denominatore, quindi racchiudo entrambe le condizioni in una soltanto se la metto strettamente maggiore di zero). Razionalizziamo i denominatori, semplifichiamo tutto il semplificabile e isoliamo poi la radice restante dal polinomio, ed eleviamo tutto al quadrato (ricordiamoci sempre di fare il prodotto doppio all’interno del calcolo del quadrato del binomio). Infine un’equazione di secondo grado, completa. Anziché usare la formula risolutiva decidiamo di scomporre il trinomio di secondo grado con il metodo della somma e del prodotto (trinomio caratteristico di secondo grado), e dei due risultati ottenuti notiamo come uno solo sia accettabile secondo le C.E.

vuoi consultare e scaricare molti altri esercizi riguardo questo argomento? visita il nostro shop!