Funzione omografica

una funzione omografica è un particolare tipo di iperbole traslata che viene riferita ai propri asintoti. Gli asintoti sono delle rette parallele agli assi cartesiani (e generalmente non coincidenti con essi) il cui punto di intersezione è il centro della funzione omografica. Come per le altre coniche, anche per la funzione omografica esistono delle iperboli degeneri, che sono delle rette. Questo però è un caso poco diffuso e raramente capita di incontrare questo tipo di funzioni.

nel primo esercizio (numero 70) bisogna scrivere l’equazione della funzione omografica avente il centro di simmetria in C(-4; 3) e passante per il espressione della punto P(-6; 9).
b. Sia O l’intersezione dell’iperbole trovata con l’asse delle ascisse e A il suo simmetrico rispetto a C. Scrivi l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento OA.
c. Determina gli ulteriori punti di intersezione D ed E dell’iperbole con la circonferenza.
d. Calcola l’area del quadrilatero ADOE.

prima di tutto ho composto un sistema con le informazioni che il dà il testo e questo mi permette di trovare la funzione omografica. Però ho quattro incognite e solo tre equazioni. Si può ovviare al problema andare a trovare tre delle incognite tutte in funzione della quarta incognita. Vado a sostituire tutto nell’equazione canonica della funzione omografica, posso raccogliere e semplificare la “c”. Successivamente metto a sistema la funzione omografica trovata con l’asse delle ascisse (asse x, di equazione y=0) e trovo il punto di intersezione. Per fare poi il simmetrico (A) di O rispetto a C, bisogna dire che C è un punto medio dell’ipotetico segmento AC, quindi uso la formula inversa del punto medio. Sappiamo che OA è il diametro della circonferenza, quindi C è il centro della stessa circonferenza e CO è il raggio. Poi scrivo l’equazione della circonferenza, noti centro e raggio della stessa. Metto di seguito a sistema le due equazioni e trovo gli ulteriori altri punti di intersezione. Il poligono in questione ADOE è un rettangolo e quindi posso calcolare la lunghezza di due lati adiacenti e poi moltiplicarli perché l’area del rettangolo è il prodotto tra due misure adiacenti e tutti i risultati sono così determinati.